Dimostrazione di: $X\subseteq\Y <=> X\capY=X <=> X\cupY=Y$
Ciao ragazzi, vorrei fare una doamnda:
ho un esercizio che dice: Siano $X, Y$ insiemi, provare che: $X\subseteq\Y <=> X\capY=X <=> X\cupY=Y$.
Io ho pensato di farlo così:
Per dimostrare $<=>$ posso prima dimostrare $=>$ e poi $\Leftarrow$.
Quindi parto da $X\subseteqY \Rightarrow X\capY =X=>X\cupY=Y$:
$X\subseteqY $ e' sottoinsieme di $Y$, quindi $AAx\inX=>x\inY$ ma allora, se tutti gli elementi di $X$ stanno anche in $Y$, è ovvio che $X\capY=X$.
Quindi $X$ non ha elementi che non facciano parte di $Y$. Questo mi porta a concludere che se io unisco i 2 insiemi, avro' nell'insieme $X\cupY$ tutti gli elementi di $X$ e tutti gli elementi di $Y$ ma siccome $X\subseteqY$, ho che $X\cupY=Y$
Ora dimostro $Leftarrow$:
Parto da destra della $X\subseteqY \Leftarrow X\capY =X \LeftarrowX\cupY=Y$:
Vediamo quindi $X\capY =X \LeftarrowX\cupY=Y$:
Posso dire: se $X\cupY=Y$ allora $X\subseteqY$ ma se questo è vero e $X$ è sottoinsieme di $Y$, la loro intersezione sara' $X$ stesso.
Per dimostrare ora $X\subseteqY \Leftarrow X\capY =X$ dico: se $X\capY=X$ allora significa che $AAx\inX^(1) => x\inX\capY =>x\inX $ e $x\inY$ e quindi tutti gli elementi di $X$ appartengono a $Y$ e quindi $X\subseteqY$
$X^(1)$ mi riferisco all'insieme $X$ a destra dell'uguale nell'equazione $X\capY =X$ .
Secondo voi puo 'andare?
ho un esercizio che dice: Siano $X, Y$ insiemi, provare che: $X\subseteq\Y <=> X\capY=X <=> X\cupY=Y$.
Io ho pensato di farlo così:
Per dimostrare $<=>$ posso prima dimostrare $=>$ e poi $\Leftarrow$.
Quindi parto da $X\subseteqY \Rightarrow X\capY =X=>X\cupY=Y$:
$X\subseteqY $ e' sottoinsieme di $Y$, quindi $AAx\inX=>x\inY$ ma allora, se tutti gli elementi di $X$ stanno anche in $Y$, è ovvio che $X\capY=X$.
Quindi $X$ non ha elementi che non facciano parte di $Y$. Questo mi porta a concludere che se io unisco i 2 insiemi, avro' nell'insieme $X\cupY$ tutti gli elementi di $X$ e tutti gli elementi di $Y$ ma siccome $X\subseteqY$, ho che $X\cupY=Y$
Ora dimostro $Leftarrow$:
Parto da destra della $X\subseteqY \Leftarrow X\capY =X \LeftarrowX\cupY=Y$:
Vediamo quindi $X\capY =X \LeftarrowX\cupY=Y$:
Posso dire: se $X\cupY=Y$ allora $X\subseteqY$ ma se questo è vero e $X$ è sottoinsieme di $Y$, la loro intersezione sara' $X$ stesso.
Per dimostrare ora $X\subseteqY \Leftarrow X\capY =X$ dico: se $X\capY=X$ allora significa che $AAx\inX^(1) => x\inX\capY =>x\inX $ e $x\inY$ e quindi tutti gli elementi di $X$ appartengono a $Y$ e quindi $X\subseteqY$
$X^(1)$ mi riferisco all'insieme $X$ a destra dell'uguale nell'equazione $X\capY =X$ .
Secondo voi puo 'andare?
Risposte
Usando de Morgan e il fatto che \(\displaystyle X\subseteq Y \Leftrightarrow X^c\supseteq Y^c \) si possono dimostrare varie di quelle parti semplicemente per dualità.
In ogni caso \(\displaystyle X = X\cap Y \) implica che \(\displaystyle X\subseteq (X\cap Y)\subseteq Y \) e per la transitività di \(\displaystyle \subseteq \) si ricava \(\displaystyle X\subseteq Y \). Ora \(\displaystyle X\subseteq Y \) implica che \(\displaystyle X\cup Y \subseteq Y\cup Y = Y \). Similmente \(\displaystyle Y = X\cup Y \) implica che \(\displaystyle Y\supseteq (X\cup Y)\supseteq X \) e per la transitività di \(\displaystyle \subseteq \) si ricava \(\displaystyle X\subseteq Y \). Per l'ultimo passaggio non mi viene nulla di immediato quindi uso il fatto che \(\displaystyle X\subseteq Y \) implica \(\displaystyle X^c\supseteq Y^c \) che come abbiamo visto implica \(\displaystyle X^c\cup Y^c = X^c \) ma allora, usando de Morgan, \(\displaystyle X\cap Y = X \). Probabilmente c'è un altro metodo elementare.
In ogni caso \(\displaystyle X = X\cap Y \) implica che \(\displaystyle X\subseteq (X\cap Y)\subseteq Y \) e per la transitività di \(\displaystyle \subseteq \) si ricava \(\displaystyle X\subseteq Y \). Ora \(\displaystyle X\subseteq Y \) implica che \(\displaystyle X\cup Y \subseteq Y\cup Y = Y \). Similmente \(\displaystyle Y = X\cup Y \) implica che \(\displaystyle Y\supseteq (X\cup Y)\supseteq X \) e per la transitività di \(\displaystyle \subseteq \) si ricava \(\displaystyle X\subseteq Y \). Per l'ultimo passaggio non mi viene nulla di immediato quindi uso il fatto che \(\displaystyle X\subseteq Y \) implica \(\displaystyle X^c\supseteq Y^c \) che come abbiamo visto implica \(\displaystyle X^c\cup Y^c = X^c \) ma allora, usando de Morgan, \(\displaystyle X\cap Y = X \). Probabilmente c'è un altro metodo elementare.
ciao, grazie mille della risposta.
io ho provato a dimostrarlo solo con le conoscenze fornite nelle prime 2 lezioni del corso.
Caso mai, riesci a dirmi se ho sparato cavolate?
GRazie mille
io ho provato a dimostrarlo solo con le conoscenze fornite nelle prime 2 lezioni del corso.
Caso mai, riesci a dirmi se ho sparato cavolate?
GRazie mille
Di che corso? Comunque alcuni passaggi mi paiono poco giustificati e un po' troppo a parole. In teoria dovresti usare i teoremi e le proposizioni fatte a lezione.
corso di matematica discreta 2. ho pensato di usare le definizioni di intersezione, inclusione e unione
OK, allora le mie proposte sono accettabili (se era il corso di teoria degli insiemi non ne ero sicuro). I ragionamenti vanno relativamente bene ma devi scriverli in modo più matematico.
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