Dimostrazione di un'equivalenza
Buonasera.
Dovrei provare la seguente equivalenza
Sia $S$ non vuoto e $R$ relazione binaria in $S$
$R$ simmetrica e asimmetrica se e soltanto se $G$ è contenuto nella diagonale $S^2$.
$to$ siano $(x,y)$ elementi di $S$ tale che $xRy$ sono in relazione, quindi, appertengono al grafico $G$, gli elementi $(x,y) in G$ sono tali che:
$a)$ $xRy$ con $R$ simmetrica, cioè $xRy$ allora $yRx$;
$b)$ $xRy$ con $R$ asimmetrica, cioè $xRy$ e $yRx$ allora $x=y$;
quindi le coppie $(x,x)$ appartengono al grafico $G$ le quali sono anche elementi della diagonale $S^2$.
$leftarrow$ $G$ contenuto nella diagonale $S^2$, quindi sia $(x,x) in G$. Gli elementi che appartengono al grafico definisco una relazione $R$, ossia soddisfano i punti $a)$ e $b)$ detti su.
Mi chiedo è fatta bene la dimostrazione, inoltre, perchè abbiamo bisogno anche dell'essere $R$ simmettrica ?
Dovrei provare la seguente equivalenza
Sia $S$ non vuoto e $R$ relazione binaria in $S$
$R$ simmetrica e asimmetrica se e soltanto se $G$ è contenuto nella diagonale $S^2$.
$to$ siano $(x,y)$ elementi di $S$ tale che $xRy$ sono in relazione, quindi, appertengono al grafico $G$, gli elementi $(x,y) in G$ sono tali che:
$a)$ $xRy$ con $R$ simmetrica, cioè $xRy$ allora $yRx$;
$b)$ $xRy$ con $R$ asimmetrica, cioè $xRy$ e $yRx$ allora $x=y$;
quindi le coppie $(x,x)$ appartengono al grafico $G$ le quali sono anche elementi della diagonale $S^2$.
$leftarrow$ $G$ contenuto nella diagonale $S^2$, quindi sia $(x,x) in G$. Gli elementi che appartengono al grafico definisco una relazione $R$, ossia soddisfano i punti $a)$ e $b)$ detti su.
Mi chiedo è fatta bene la dimostrazione, inoltre, perchè abbiamo bisogno anche dell'essere $R$ simmettrica ?
Risposte
Se \(R\) è una relazione simmetrica e antisimmetrica, vale che
\[
(x,y)\in R \Rightarrow x = y
\] perché se \(xRy\) allora \(yRx\) ma allora \(x=y\). (Il viceversa è vero solo se \(R\) è riflessiva.)
Questa condizione è completamente equivalente alla richiesta che \(R\) sia un sottoinsieme della diagonale \(\Delta\subset X\times X\).
\[
(x,y)\in R \Rightarrow x = y
\] perché se \(xRy\) allora \(yRx\) ma allora \(x=y\). (Il viceversa è vero solo se \(R\) è riflessiva.)
Questa condizione è completamente equivalente alla richiesta che \(R\) sia un sottoinsieme della diagonale \(\Delta\subset X\times X\).
Ciao.
Io voglio dire se ho una relazione antisimmetrica in un insieme $A$ vale a dire:
questa non basta affinchè sussiste la prima implicazione da sinistra verso destra ?
Io voglio dire se ho una relazione antisimmetrica in un insieme $A$ vale a dire:
$forall a, b in A \ qquad aRb \ "e" \ bRa to a=b$
questa non basta affinchè sussiste la prima implicazione da sinistra verso destra ?
Forse mi sono risposto.
Voglio dire se succede che in $A$ sussiste la sola relazione antisimmetrica, vale dire quello che ho scritto nel messaggio precedente, in parole corrisponde al fatto che se:
$aRb$ e $bRa$ contemporaneamente sussistono quando $a=b$, ma questo avviene solo se
relazione e anche simmetrica, la quale ci garantisce il fatto che presi due elementi $a,b$ in $A$ si ha $aRb to bRa$, quindi è necessaria.
E' corretto ?
Voglio dire se succede che in $A$ sussiste la sola relazione antisimmetrica, vale dire quello che ho scritto nel messaggio precedente, in parole corrisponde al fatto che se:
$aRb$ e $bRa$ contemporaneamente sussistono quando $a=b$, ma questo avviene solo se
relazione e anche simmetrica, la quale ci garantisce il fatto che presi due elementi $a,b$ in $A$ si ha $aRb to bRa$, quindi è necessaria.
E' corretto ?
$R$ deve essere simmetrica (non deve essere riflessiva, perché è un sottoinsieme della diagonale, non la contiene).
Quindi perchè viene citata nell'esercizio ?
Scusa, pensavo intedessi "riflessiva"; non deve essere riflessiva. Ma deve essere simmetrica per poter dire che se $xRy$ allora $yRx$.
Perfetto grazie. Invece per l'altra implicazione basta dire che $ Gsubseteq delta_(S^2)$
dove $G$ contiene le contiene le coppie $(x,x)$ quindi quest'ultime soddisfano essere simmetriche e antisimmetriche ?
dove $G$ contiene le contiene le coppie $(x,x)$ quindi quest'ultime soddisfano essere simmetriche e antisimmetriche ?
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