Dimostrazione di una relazione di equivalenza
Ciao ragazzi,
ho un piccolo dubbio sulla dimostrazione di una relazione di equivalenza, la traccia è: "data la relazione [tex]$ R:= \{ (a,b) \in \mathbb{Z}\times \mathbb{Z} |\ \text{$a^2 - b^2$ è divisibile per 5}\}$[/tex]"
bene, per dimostrare che è una relazione di equivalenza devo dimostrare riflessività, simmetria e transitività di R.
quindi ho dimostrato che è riflessiva perchè $a^2 - a^2 = 0$
per la simmetria invece ho un dubbio, posso dire che non è simmetrica perchè $ a^2-b^2$ è sempre diverso da $b^2-a^2$ ?
grazie mille a tutti
ho un piccolo dubbio sulla dimostrazione di una relazione di equivalenza, la traccia è: "data la relazione [tex]$ R:= \{ (a,b) \in \mathbb{Z}\times \mathbb{Z} |\ \text{$a^2 - b^2$ è divisibile per 5}\}$[/tex]"
bene, per dimostrare che è una relazione di equivalenza devo dimostrare riflessività, simmetria e transitività di R.
quindi ho dimostrato che è riflessiva perchè $a^2 - a^2 = 0$
per la simmetria invece ho un dubbio, posso dire che non è simmetrica perchè $ a^2-b^2$ è sempre diverso da $b^2-a^2$ ?
grazie mille a tutti
Risposte
Se non ho capito male la relazione è : $ccR= { (a,b)in ZZxxZZ$ $|$ $EE k in ZZ$ $:$ $a^2-b^2=5k}
La relazione è simmetrica se (definizione) $AA a,b in ZZ$, $(a,b) in ccR=> (b,a)in ccR$.
Nel nostro caso, $(a,b)in ccR=> EE k in ZZ $ tale che $a^2-b^2=5k$
Domanda: $EE h in ZZ$ tale che $b^2-a^2=5h$? Se sì, allora $(b,a) in ccR$
La relazione è simmetrica se (definizione) $AA a,b in ZZ$, $(a,b) in ccR=> (b,a)in ccR$.
Nel nostro caso, $(a,b)in ccR=> EE k in ZZ $ tale che $a^2-b^2=5k$
Domanda: $EE h in ZZ$ tale che $b^2-a^2=5h$? Se sì, allora $(b,a) in ccR$
prima di tutto grazie della risposta anche velocissima
se dicessi che per il $h=-k$ allora $(b,a) in ccR$ ? è corretto?
"Gi8":
Domanda: $EE h in ZZ$ tale che $b^2-a^2=5h$? Se sì, allora $(b,a) in ccR$
se dicessi che per il $h=-k$ allora $(b,a) in ccR$ ? è corretto?
Precisamente. Traducendo in parole povere,
se $a^2-b^2$ è divisibile per $5$, allora anche $b^2-a^2$ è divisibile per $5$
Quindi $ccR$ è simmetrica.
se $a^2-b^2$ è divisibile per $5$, allora anche $b^2-a^2$ è divisibile per $5$
Quindi $ccR$ è simmetrica.
sei un grande, è stata un ottima risposta la tua, mi ha portato a ragionare in modo corretto, davvero grazie 
Prego, figurati. A buon rendere 
permettimi di approfittare per un ulteriore chiarimento...
allora se stabilisco la classe di equivalenza $[0]$
faccio questo ragionamento
visto che le classi di equivalenza su un generico insieme A sono definite come $[a] = {x, x in A, (a,x) in RR}$
allora nel mio caso devo mettere in relazione a con 0 e verificare che $(a,0) in RR$ e quindi ottengo che $[0] = {a t.c. AA a in ZZ: a^2|5}$ è esatto?
allora se stabilisco la classe di equivalenza $[0]$
faccio questo ragionamento
visto che le classi di equivalenza su un generico insieme A sono definite come $[a] = {x, x in A, (a,x) in RR}$
allora nel mio caso devo mettere in relazione a con 0 e verificare che $(a,0) in RR$ e quindi ottengo che $[0] = {a t.c. AA a in ZZ: a^2|5}$ è esatto?
Esatto. Puoi essere ancora più preciso: $[0]_(ccR)= 5ZZ$
(con $5ZZ$ si intende l'insieme formato dai multipli di $5$)
Infatti $a^2|5<=>...$
(con $5ZZ$ si intende l'insieme formato dai multipli di $5$)
Infatti $a^2|5<=>...$
Ottimo, grazie tante... ora non voglio approfittare ma chiedo un ulteriore conferma per un esercizio simile...
$RR={(a,b)}in ZZ x ZZ| |a-b|<= 2}$
ho dimostrato la simmetria in questo modo:
$|a-b|=$ $ { (-(a-b)=b-a ),((a-b)=a-b ):} $ visto che il valore assoluto si sviluppa nel modo esatto in cui devo dimostrare la simmetria allora posso dire che anche questa relazione è simmetrica...
scritto na castroneria?
$RR={(a,b)}in ZZ x ZZ| |a-b|<= 2}$
ho dimostrato la simmetria in questo modo:
$|a-b|=$ $ { (-(a-b)=b-a ),((a-b)=a-b ):} $ visto che il valore assoluto si sviluppa nel modo esatto in cui devo dimostrare la simmetria allora posso dire che anche questa relazione è simmetrica...
scritto na castroneria?
Due cose:
1) il simbolo $RR$ indica i numeri reali, quindi non usarlo per indicare la relazione.
2)
1) il simbolo $RR$ indica i numeri reali, quindi non usarlo per indicare la relazione.
2)
"duombo":Questa formula che vuol dire?
$|a-b|=$ $ { (-(a-b)=b-a ),((a-b)=a-b ):} $
"duombo":penso che hai l'idea giusta, ma non la formalizzi bene (e in matematica è importante spiegare il meglio possibile)
visto che il valore assoluto si sviluppa nel modo esatto in cui devo dimostrare la simmetria allora posso dire che anche questa relazione è simmetrica...
per il punto 1 è stata pigrizia di non guardare come si fa la $ cc(R) $ della relazione
per il punto 2 se dico che $|a-b|$ può essere uguale sia ad $(a-b)$ che a $(b-a)$ quindi il loro valore assoluto sarà uguale ed è così che dimostro la simmetria nella relazione, forse è meglio esprimersi così?
per il punto 2 se dico che $|a-b|$ può essere uguale sia ad $(a-b)$ che a $(b-a)$ quindi il loro valore assoluto sarà uguale ed è così che dimostro la simmetria nella relazione, forse è meglio esprimersi così?
"duombo":
$|a-b|$ può essere uguale sia ad $(a-b)$ che a $(b-a)$
Non puoi dire semplicemente che $|a-b|=|b-a|$?
bhe.. in effetti sì 
nel caso di quest'ultima relazione come faccio a dimostrare la transitività?
Fai un tentativo tu, non è difficile
in questo caso però non ho tantissimo idea di come fare a dimostrare la transitività
solo che se pongo $a=1, b=3, c=5$ e quindi in questo caso $|a-c|$ non è $<=2$ quindi ho dimostrato con un esempio che non è transitiva giusto?
e se lo volessi dimostrare senza esempio come si potrebbe fare?
solo che se pongo $a=1, b=3, c=5$ e quindi in questo caso $|a-c|$ non è $<=2$ quindi ho dimostrato con un esempio che non è transitiva giusto?
e se lo volessi dimostrare senza esempio come si potrebbe fare?
"duombo":Va benissimo. Bravo. Era proprio quello che dovevi fare, trovare un controesempio.
in questo caso però non ho tantissimo idea di come fare a dimostrare la transitività
solo che se pongo $a=1, b=3, c=5$ e quindi in questo caso $|a-c|$ non è $<=2$ quindi ho dimostrato con un esempio che non è transitiva giusto?
Infatti la relazione non è transitiva.
"duombo":Non c'è niente di meglio che il controesempio
e se lo volessi dimostrare senza esempio come si potrebbe fare?
perfettissimo allora grazie davvero tante
grazie davvero tante
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