Dimostrazione di una proposizione di Teoria degli Insiemi
Salve a tutti. Vorrei gentilmente sapere se qualcuno di voi è in grado di dimsotrare questa proposizione senza utilizzare l'assioma della scelta:
Siano S e T insiemi non vuoti e sia f: S-->T un'applicazione. Se f è suriettiva,allora esiste un'applicazione g: T-->S tale che f composto g= iotaT(Relazione identica che va da T in T).
Siano S e T insiemi non vuoti e sia f: S-->T un'applicazione. Se f è suriettiva,allora esiste un'applicazione g: T-->S tale che f composto g= iotaT(Relazione identica che va da T in T).
Risposte
Non è possibile dato che l'assioma della scelta è equivalente al fatto che ogni funzione suriettiva ha un'inversa destra. Vedi qui. Ciao.
Mah,vai a capirci qualcosa: in classe ad Algebra 1 mi sembra l'abbia dimostrata senza assioma della scelta. Vabè mi sarò sbagliato. Grazie della risposta.
Salve davi2892,
forse il docente non lo ha reso esplicito, più volte l'assioma della scelta non è reso noto in alcune dimostrazioni. Esempio, più volte si fà uso della proiezione canonica, ma più volte non si sà che questa deriiva, o è possibile, dall'assioma della scelta.
Cordiali saluti
"davi2892":
Mah,vai a capirci qualcosa: in classe ad Algebra 1 mi sembra l'abbia dimostrata senza assioma della scelta. Vabè mi sarò sbagliato. Grazie della risposta.
forse il docente non lo ha reso esplicito, più volte l'assioma della scelta non è reso noto in alcune dimostrazioni. Esempio, più volte si fà uso della proiezione canonica, ma più volte non si sà che questa deriiva, o è possibile, dall'assioma della scelta.
Cordiali saluti
Il libro la esplicita fortemente...la studierò così...mi sembra formalmente più corretto.
Salve diva2892,
e il docente la esplicita?
Cordiali saluti
"davi2892":
Il libro la esplicita fortemente...la studierò così...mi sembra formalmente più corretto.
e il docente la esplicita?
Cordiali saluti
Scusate, sostanzialmente l'assioma della scelta come influisce in questa dimostrazione? Magari è una domanda banale eh, ma sono curioso !
Ricordo che l'assioma della scelta può essere espresso come segue: se [tex]\mathcal{F}[/tex] è una famiglia di insiemi non vuoti allora esiste una funzione [tex]\gamma: \mathcal{F} \to \coprod_{F \in \mathcal{F}} F[/tex] (qui [tex]\coprod[/tex] indica l'unione disgiunta) con la proprietà che [tex]\gamma(F) \in F[/tex] per ogni [tex]F \in \mathcal{F}[/tex]. Tale funzione di solito è chiamata "funzione di scelta". In pratica la funzione non fa altro che scegliere un particolare elemento in ogni insieme della famiglia [tex]\mathcal{F}[/tex].
Osserviamo che tale funzione [tex]\gamma[/tex] non è altro che un'inversa destra della funzione suriettiva (canonica) [tex]f: \coprod_{F \in \mathcal{F}} F \to \mathcal{F}[/tex] che manda [tex]x[/tex] nell'unico elemento [tex]F \in \mathcal{F}[/tex] tale che [tex]x \in F[/tex].
Viceversa, data [tex]f:A \to B[/tex] suriettiva, per creare [tex]g:B \to A[/tex] tale che [tex]f \circ g = \text{id}_B[/tex] bisogna prendere la famiglia delle controimmagini di [tex]f[/tex] e scegliere in ciascuna un elemento. In altre parole detta [tex]C_b[/tex] la controimmagine di [tex]b \in B[/tex], cioè [tex]C_b := \{a \in A\ |\ f(a)=b\}[/tex], definiamo [tex]\mathcal{F} = \{C_b\ |\ b \in B\}[/tex], prendiamo [tex]\gamma[/tex] come sopra e definiamo [tex]g(b) := \gamma(C_b)[/tex].
Osserviamo che tale funzione [tex]\gamma[/tex] non è altro che un'inversa destra della funzione suriettiva (canonica) [tex]f: \coprod_{F \in \mathcal{F}} F \to \mathcal{F}[/tex] che manda [tex]x[/tex] nell'unico elemento [tex]F \in \mathcal{F}[/tex] tale che [tex]x \in F[/tex].
Viceversa, data [tex]f:A \to B[/tex] suriettiva, per creare [tex]g:B \to A[/tex] tale che [tex]f \circ g = \text{id}_B[/tex] bisogna prendere la famiglia delle controimmagini di [tex]f[/tex] e scegliere in ciascuna un elemento. In altre parole detta [tex]C_b[/tex] la controimmagine di [tex]b \in B[/tex], cioè [tex]C_b := \{a \in A\ |\ f(a)=b\}[/tex], definiamo [tex]\mathcal{F} = \{C_b\ |\ b \in B\}[/tex], prendiamo [tex]\gamma[/tex] come sopra e definiamo [tex]g(b) := \gamma(C_b)[/tex].
Piccolo OT
Ricordo che c'era una volta un topic che aveva come oggetto l'AC in questa sezione anche se non ricordo dettagliatamente a proposito di quale particolare aspetto dell'AC si discuteva. Mi pare che ad iniziarlo fu uno tra dissonance e fu^2. Così, tanto per curiosità, non è che qualcuno sa a quale topic faccio riferimento? Lo so che è la tipica manifestazione del mio contorsionismo mentale, però non lo trovo.
Ricordo che c'era una volta un topic che aveva come oggetto l'AC in questa sezione anche se non ricordo dettagliatamente a proposito di quale particolare aspetto dell'AC si discuteva. Mi pare che ad iniziarlo fu uno tra dissonance e fu^2. Così, tanto per curiosità, non è che qualcuno sa a quale topic faccio riferimento? Lo so che è la tipica manifestazione del mio contorsionismo mentale, però non lo trovo.
Ciao Martino.
Innanzitutto grazie per il topic linkato, tuttavia non è quello: ricordo che intervenni anche io e tirai fuori una "topica" clamorosa! Il topic segnalato però è interessante.
Grazie e buon proseguimento di giornata.
Innanzitutto grazie per il topic linkato, tuttavia non è quello: ricordo che intervenni anche io e tirai fuori una "topica" clamorosa! Il topic segnalato però è interessante.
Grazie e buon proseguimento di giornata.
Ecco! Ecco! Grazie! Gentilissimo come sempre!
A buon rendere!
A buon rendere!
Ragazzi scusate se rispondo soltanto adesso...Allora a me questa proposizione serviva per dimostrare una proposizione molto importante: (a)Esiste un'applicazione iniettiva di S in T solo se ne esiste una suriettiva nel verso opposto. Il mio testo dimostra questa proposizione come diretta conseguenza di quella in oggetto del topic. Comunque il mio docente ha dimostrato soltanto la a, e nel corso della dimostrazione ha dovuto utilizzare una funzione di scelta fornitagli proprio dall'assioma della scelta. Quindi avevate ragione voi. Soltanto che aveva abilmente mascherato l'utilizzo di tale assioma.
Grazie a tutti.
Grazie a tutti.
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