Dimostrazione di un monoide

[Hop Frog1]

Esercizio:
Sia $(X, *)$ un GRUPPPOIDE e si assuma che:
1) esiste un u appartenente a X tale che u è l elemento neutro del gruppoide.
2) per ogni $x,y,z$ appartenente a X abbiamo che: $x*(y*z) = (x*z)*y$
Dimostrare che $(X, *)$ è un MONOIDE commutativo.

Procedimento:
In quanto monoide commutativo deve rispettare:
a)associatività
b)elemento neutro
e in più essere commutativo.

dunque, il punto b) è dato dalla definizione 1). e ok.
passiamo all associatività e commutatività.

Quindi, in $x*(y*z) = (x*z)*y$
assumiamo x=u (elemento neutro.
In questo modo:
$x*(y*z) = (x*z)*y$
$u*(y*z) = (u*z)*y$
$y*z = z*y$
Commutatività dimostrata (?)

E ora molto semplicemente, giriamo y e z all interno della prima parentesi per verificare l associatività:
$x*(y*z) = (x*z)*y$
$x*(z*y) = (x*z)*y$
Associatività dimostrata (?)

e ora, il dubbio:
questa dimostrazione è valida, oppure non è valida in quanto tutto si poggia sul fatto che x sia uguale all elemento neutro, e per questo le proprietà dimostrate valgono solo per un caso, ovvero che $x=u$ ?

[Lord K]

A me il tutto piace e funziona!

[cirasa]

Bello!