Dimostrazione di reticolo non distributivo
Salve a tutti, avrei da risolvere un esercizio,
Dovrei verificare che i reticoli M3 e N5 non sono distributivi
(non riesco a disegnarli con il codice)
le due definizioni sono
1) $avv(b^^c)=(avvb)^^(avvc)$
2) $a^^(bvvc)=(a^^b)vv(a^^c)$
ho trovato che M3 non è vera per la prima, precisamente
$avv0=1^^1$
$a=1$ FALSO
qualcuno potrebbe spiegarmi passo passo questi passaggi?
magari facendomi capire per quale legge
$b^^c=0$ e $avv0=a$
e soprattutto perchè $a=1$ è falsa? quanto dovrebbe essere?
Confido in una vostra risposta
Dovrei verificare che i reticoli M3 e N5 non sono distributivi
(non riesco a disegnarli con il codice)
le due definizioni sono
1) $avv(b^^c)=(avvb)^^(avvc)$
2) $a^^(bvvc)=(a^^b)vv(a^^c)$
ho trovato che M3 non è vera per la prima, precisamente
$avv0=1^^1$
$a=1$ FALSO
qualcuno potrebbe spiegarmi passo passo questi passaggi?
magari facendomi capire per quale legge
$b^^c=0$ e $avv0=a$
e soprattutto perchè $a=1$ è falsa? quanto dovrebbe essere?
Confido in una vostra risposta
Risposte
up?
qualcuno che mi risolva anche solo una delle due leggi?
qualcuno che mi risolva anche solo una delle due leggi?
CIa0,
ti vorremmo pure dare un aiuto, ma chi sono questi reticoli?
ti vorremmo pure dare un aiuto, ma chi sono questi reticoli?
http://it.wikipedia.org/wiki/Reticolo_(matematica)
"In matematica, un reticolo è un insieme parzialmente ordinato in cui ogni coppia di elementi ha sia un estremo inferiore (inf) che un estremo superiore (sup)."
"Il termine reticolo deriva dalla rappresentazione dei diagrammi di Hasse."
ho visto altri post sempre nella stessa sezione, però non spiegavano proprio quello che cerco di capire, spero di essere stato più chiaro
"In matematica, un reticolo è un insieme parzialmente ordinato in cui ogni coppia di elementi ha sia un estremo inferiore (inf) che un estremo superiore (sup)."
"Il termine reticolo deriva dalla rappresentazione dei diagrammi di Hasse."
ho visto altri post sempre nella stessa sezione, però non spiegavano proprio quello che cerco di capire, spero di essere stato più chiaro
Chiarifico la domanda: chi sono quei reticoli \(M3\) ed \(N5\)? 
ah scusa, sono i diagrammi di hasse di due reticoli non distributivi
N5
M3
volevo capire perchè non sono distributivi
N5
M3volevo capire perchè non sono distributivi
In M3: \(\displaystyle b \wedge c \) con \(\displaystyle b\neq c \) è uguale a:
\[\begin{align} x \wedge y &= 0 \\
x \wedge z &= 0 \\
x \wedge 0 &= 0 \\
x \wedge 1 &= x \\
y \wedge z &= 0 \\
y \wedge 0 &= 0 \\
y \wedge 1 &= y \\
z \wedge 0 &= 0 \\
z \wedge 1 &= z
\end{align}\]
quindi la tua condizione è verificata quando i due insiemi sono diversi tra di loro e da \(\displaystyle 1 \).
La seconda condizione è praticamente per definizione di \(\displaystyle \vee \) e di \(\displaystyle 0 \). L'estremo superiore tra il minimo e un elemento è sempre quell'elemento (similmente per il massimo e l'estremo inferiore).
Nota che se tu prendi due elementi diversi tra di loro e da 0 allora hai che \(\displaystyle a\vee b = 1 \).
In particolare quindi hai il controesempio \(\displaystyle x\vee (y\wedge z) = x\vee 0 = x \) pur avendo \(\displaystyle (x\vee y)\wedge(x\vee z) = 1\wedge 1 = 1 \).
Dubbi?
Passiamo ora a N5: Abbiamo che \(\displaystyle x \vee \{ y, z\} = 1 \) (dove con \(\displaystyle \{y, z \} \) intendo o l'uno o l'altro) e al contempo \(\displaystyle x \wedge \{ y, z\} = 0 \) inoltre si ha \(\displaystyle y\wedge y = z \) e \(\displaystyle y\vee z = y \).
Pertanto \(\displaystyle y\vee (x\wedge z) = y \vee 1 = 1 \), d'altra parte \(\displaystyle (y\vee x) \wedge (y\vee z) = 1\wedge y = y \neq 1 \). Se non ho fatto errori questo dovrebbe essere il controesempio cercato.
** ** ** ** ** ** **
La mia conoscenza dei reticoli è abbastanza legata ad uno studio autonomo. Immagino ci siano modi per dimostrarlo non basati su controesempi. In ogni caso, se non ho fatto errori di calcolo il tutto dovrebbe funzionare.
\[\begin{align} x \wedge y &= 0 \\
x \wedge z &= 0 \\
x \wedge 0 &= 0 \\
x \wedge 1 &= x \\
y \wedge z &= 0 \\
y \wedge 0 &= 0 \\
y \wedge 1 &= y \\
z \wedge 0 &= 0 \\
z \wedge 1 &= z
\end{align}\]
quindi la tua condizione è verificata quando i due insiemi sono diversi tra di loro e da \(\displaystyle 1 \).
La seconda condizione è praticamente per definizione di \(\displaystyle \vee \) e di \(\displaystyle 0 \). L'estremo superiore tra il minimo e un elemento è sempre quell'elemento (similmente per il massimo e l'estremo inferiore).
Nota che se tu prendi due elementi diversi tra di loro e da 0 allora hai che \(\displaystyle a\vee b = 1 \).
In particolare quindi hai il controesempio \(\displaystyle x\vee (y\wedge z) = x\vee 0 = x \) pur avendo \(\displaystyle (x\vee y)\wedge(x\vee z) = 1\wedge 1 = 1 \).
Dubbi?
Passiamo ora a N5: Abbiamo che \(\displaystyle x \vee \{ y, z\} = 1 \) (dove con \(\displaystyle \{y, z \} \) intendo o l'uno o l'altro) e al contempo \(\displaystyle x \wedge \{ y, z\} = 0 \) inoltre si ha \(\displaystyle y\wedge y = z \) e \(\displaystyle y\vee z = y \).
Pertanto \(\displaystyle y\vee (x\wedge z) = y \vee 1 = 1 \), d'altra parte \(\displaystyle (y\vee x) \wedge (y\vee z) = 1\wedge y = y \neq 1 \). Se non ho fatto errori questo dovrebbe essere il controesempio cercato.
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La mia conoscenza dei reticoli è abbastanza legata ad uno studio autonomo. Immagino ci siano modi per dimostrarlo non basati su controesempi. In ogni caso, se non ho fatto errori di calcolo il tutto dovrebbe funzionare.
grazie tante, avrei qualche piccolo dubbio che ti cito qui, intanto nel primo rigo quando parli di $b^^C$ con $b!=c$ forse volevi parlare di x,y,z nel tuo esempio?
altro dubbio: non ho letto da nessuna parte che $b!=c$, stessa cosa vale anche per il reticolo N5?
altro dubbio:
in tutta questa parte mi spieghi le leggi per cui $b^^c=0$ e $avv0=a$?
ora parlando del controesempio, in teoria è distributivo dovrebbe esserci lo stesso risultato sia a sinistra che a destra, mentre qui risulta $x=1$ tutto qui? non capisco perchè se $x=1$ il reticolo non è distributivo, potresti fare un esempio dove il reticolo è distributivo per capire in cosa differisce e quale dovrebbe essere il risultato...
Forse sono ancora ben lotano dal capire veramente l'esercizio, io avevo provato a dare dei valori reali ai vertici del reticolo quindi $a=0$ $b=1$ $c=0$
per la legge distributiva sarebbe
$0vv(1^^0)=0$ e $(0vv1)^^(0vv0)=0$
così, in teoria, il reticolo non risulta distributivo?
per N5 non faccio ulteriori domande, oltre ad averne fatte già troppe, basta risolvere questi dubbi e dovrei poter risolvere anche l'altro diagramma..
Capisco che ti sto chiedendo un sacco di cose, ma se non mi chiarisco le idee non saprei proprio dove altro andarmi a sbattere la testa, in rete si trova poco e niente riguardo questa parte di programma. Grazie mille
altro dubbio: non ho letto da nessuna parte che $b!=c$, stessa cosa vale anche per il reticolo N5?
altro dubbio:
In M3: b∧c con b≠c è uguale a:
\begin{align} x \wedge y &= 0 \\ x \wedge z &= 0 \\ x \wedge 0 &= 0 \\ x \wedge 1 &= x \\ y \wedge z &= 0 \\ y \wedge 0 &= 0 \\ y \wedge 1 &= y \\ z \wedge 0 &= 0 \\ z \wedge 1 &= z \end{align}
quindi la tua condizione è verificata quando i due insiemi sono diversi tra di loro e da 1.
La seconda condizione è praticamente per definizione di ∨ e di 0. L'estremo superiore tra il minimo e un elemento è sempre quell'elemento (similmente per il massimo e l'estremo inferiore).
Nota che se tu prendi due elementi diversi tra di loro e da 0 allora hai che a∨b=1.
in tutta questa parte mi spieghi le leggi per cui $b^^c=0$ e $avv0=a$?
In particolare quindi hai il controesempio x∨(y∧z)=x∨0=x pur avendo (x∨y)∧(x∨z)=1∧1=1.
ora parlando del controesempio, in teoria è distributivo dovrebbe esserci lo stesso risultato sia a sinistra che a destra, mentre qui risulta $x=1$ tutto qui? non capisco perchè se $x=1$ il reticolo non è distributivo, potresti fare un esempio dove il reticolo è distributivo per capire in cosa differisce e quale dovrebbe essere il risultato...
Forse sono ancora ben lotano dal capire veramente l'esercizio, io avevo provato a dare dei valori reali ai vertici del reticolo quindi $a=0$ $b=1$ $c=0$
per la legge distributiva sarebbe
$0vv(1^^0)=0$ e $(0vv1)^^(0vv0)=0$
così, in teoria, il reticolo non risulta distributivo?
per N5 non faccio ulteriori domande, oltre ad averne fatte già troppe, basta risolvere questi dubbi e dovrei poter risolvere anche l'altro diagramma..
Capisco che ti sto chiedendo un sacco di cose, ma se non mi chiarisco le idee non saprei proprio dove altro andarmi a sbattere la testa, in rete si trova poco e niente riguardo questa parte di programma. Grazie mille
Per i calcoli ho usato il diagramma di hasse che ci ha dato con i nomi del diagramma di hasse. Le x,y,z,0,1 sono quelle del diagramma le a,b,c sono variabili generiche.
Quello che io ho fatto è prendere particolari elementi di N5 o M3 e ho mostrato che ci sono delle triplette per cui la distributività non vale. Tutti qui.
Quello che io ho fatto è prendere particolari elementi di N5 o M3 e ho mostrato che ci sono delle triplette per cui la distributività non vale. Tutti qui.
in M3 quindi il diagramma non è distributivo perchè $xvv(y^^z)=xvv0=x$ pur avendo $(xvvy)^^(xvvz)=1^^1=1$,
quindi $x=1$, ho capito come si arriva a $x=1$, però giuro che non riesco a capire perchè non è distributivo...
forse perchè per verificare la condizione $x$ deve essere diverso da 1?
\[ \begin{align} x \wedge y &= 0 \\ x \wedge z &= 0 \\ x \wedge 0 &= 0 \\ x \wedge 1 &= x \\ y \wedge z &= 0 \\ y \wedge 0 &= 0 \\ y \wedge 1 &= y \\ z \wedge 0 &= 0 \\ z \wedge 1 &= z \end{align}\]
\[ \begin{align} 0 \wedge y &= 0 \\ 0 \wedge z &= 0 \\ 0 \wedge 0 &= 0 \\ 0 \wedge 1 &= 0 \\ y \wedge z &= 0 \\ y \wedge 0 &= 0 \\ y \wedge 1 &= y \\ z \wedge 0 &= 0 \\ z \wedge 1 &= z \end{align}\]
quindi $x=1$, ho capito come si arriva a $x=1$, però giuro che non riesco a capire perchè non è distributivo...
forse perchè per verificare la condizione $x$ deve essere diverso da 1?
\[ \begin{align} x \wedge y &= 0 \\ x \wedge z &= 0 \\ x \wedge 0 &= 0 \\ x \wedge 1 &= x \\ y \wedge z &= 0 \\ y \wedge 0 &= 0 \\ y \wedge 1 &= y \\ z \wedge 0 &= 0 \\ z \wedge 1 &= z \end{align}\]
\[ \begin{align} 0 \wedge y &= 0 \\ 0 \wedge z &= 0 \\ 0 \wedge 0 &= 0 \\ 0 \wedge 1 &= 0 \\ y \wedge z &= 0 \\ y \wedge 0 &= 0 \\ y \wedge 1 &= y \\ z \wedge 0 &= 0 \\ z \wedge 1 &= z \end{align}\]
Continuiamo a non capirci.
Sia M3 il reticolo sull'insieme \(\displaystyle \{0,1,x,y,z\} \) e dall'ordinamento
\begin{align} 0&
Quindi \(\displaystyle x\neq 1 \) perché sono elementi distinti.
Sia M3 il reticolo sull'insieme \(\displaystyle \{0,1,x,y,z\} \) e dall'ordinamento
\begin{align} 0&
Quindi \(\displaystyle x\neq 1 \) perché sono elementi distinti.
riprovo... In M3
essendo $0
le soluzioni date dalle leggi distributive, ovvero $x^^(yvvz)=x$ e $(x^^y)vv(x^^z)=0$ quindi $x=0$ non è una soluzione accettabile, stessa cosa per $xvv(y^^z)=x$ e $(xvvy)^^(xvvz)=1$ quindi $x=1$ non è una soluzione accettabile
ci siamo ora? spero proprio di si, se no nonso dove andarmi a sbattere la testa XD
essendo $0
le soluzioni date dalle leggi distributive, ovvero $x^^(yvvz)=x$ e $(x^^y)vv(x^^z)=0$ quindi $x=0$ non è una soluzione accettabile, stessa cosa per $xvv(y^^z)=x$ e $(xvvy)^^(xvvz)=1$ quindi $x=1$ non è una soluzione accettabile
ci siamo ora? spero proprio di si, se no nonso dove andarmi a sbattere la testa XD
Penso di si, ma la terminologia è sbagliata. Tu stai verificando che si abbia quella formula che sarebbe \(\displaystyle \forall a, b, c\ \ a\wedge (b\vee c) = (a\wedge b)\vee(a\wedge c) \). Ho aggiunto il \(\displaystyle \forall \) per rendere la formula più espressiva. Tu dimostra che questa formula non vale nel particolare reticolo dimostrando che \(\displaystyle \exists v, w, u\ \ v\wedge (w\vee u) \neq (v\wedge w)\vee(v\wedge u) \).
Perciò l’espressione corretta è: “Siccome \(\displaystyle x\neq 0 \) la distributività di \(\displaystyle \wedge \) su \(\displaystyle \vee \) non è verificata in M3”. Immagino esista anche un controesempio per la distributività di \(\displaystyle \vee \) su \(\displaystyle \wedge \). Quello che intendo dire è che non ci sono equazioni, perciò neanche soluzioni accettabili o non accettabili, ma solo due espressioni che tu vuoi confrontare.
Perciò l’espressione corretta è: “Siccome \(\displaystyle x\neq 0 \) la distributività di \(\displaystyle \wedge \) su \(\displaystyle \vee \) non è verificata in M3”. Immagino esista anche un controesempio per la distributività di \(\displaystyle \vee \) su \(\displaystyle \wedge \). Quello che intendo dire è che non ci sono equazioni, perciò neanche soluzioni accettabili o non accettabili, ma solo due espressioni che tu vuoi confrontare.
ok, scusa per la terminologia, comunque credo di aver capito ora...posto i vari passaggi sia in M3 che in N5 per essere sicuro che abbia capita il tutto e che sia tutto corretto.
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La distributività di un reticolo si definisce secondo le due leggi
1)$a^^(bvvc)=(a^^b)vv(a^^c)$
2)$avv(b^^c)=(avvb)^^(avvc)$
Dunque in $M3$
1)$a^^(bvvc)=(a^^b)vv(a^^c)$
$a^^1=0vv0$
$a=0$ Dato che $a!=0$ la distributività di $^^$ su $vv$ non è verificata in $M3$
2)$avv(b^^c)=(aVVb)^^(avvc)$
$avv0=1^^1$
$a=1$ Dato che $a!=1$ la distributività di $vv$ su $^^$ non è verificata in $M3$
ora in $N5$
1)$b^^(avvc)=(b^^a)vv(b^^c)$
$b^^0=0vv0$
$b=0$ Dato che $b!=0$ la distributività di $^^$ su $vv$ non è verificata in $N5$
2)$avv(b^^c)=(avvb)^^(avvc)$
Stessa cosa, non la completo per ragioni di tempo
Volevo chiederti un ultima cosa, in teoria in N5 per esempio, POTREBBE essere $b!=0$ giusto?
Grazie mille!
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La distributività di un reticolo si definisce secondo le due leggi
1)$a^^(bvvc)=(a^^b)vv(a^^c)$
2)$avv(b^^c)=(avvb)^^(avvc)$
Dunque in $M3$
1)$a^^(bvvc)=(a^^b)vv(a^^c)$
$a^^1=0vv0$
$a=0$ Dato che $a!=0$ la distributività di $^^$ su $vv$ non è verificata in $M3$
2)$avv(b^^c)=(aVVb)^^(avvc)$
$avv0=1^^1$
$a=1$ Dato che $a!=1$ la distributività di $vv$ su $^^$ non è verificata in $M3$
ora in $N5$
1)$b^^(avvc)=(b^^a)vv(b^^c)$
$b^^0=0vv0$
$b=0$ Dato che $b!=0$ la distributività di $^^$ su $vv$ non è verificata in $N5$
2)$avv(b^^c)=(avvb)^^(avvc)$
Stessa cosa, non la completo per ragioni di tempo
Volevo chiederti un ultima cosa, in teoria in N5 per esempio, POTREBBE essere $b!=0$ giusto?
Grazie mille!
"vict85":
Passiamo ora a N5: Abbiamo che \(\displaystyle x \vee \{ y, z\} = 1 \) (dove con \(\displaystyle \{y, z \} \) intendo o l'uno o l'altro) e al contempo \(\displaystyle x \wedge \{ y, z\} = 0 \) inoltre si ha \(\displaystyle y\wedge y = z \) e \(\displaystyle y\vee z = y \).
scusa ma non si dovrebbe avere $y^^z=z$ forse ti sei confuso scrivendo $y^^y=z$ mi sto sbagliando io?
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in M3 ho risolto, in M5 con il tuo esempio risolvo, prendendo però:
$xvv(y^^z)=(xvvy)^^(xvvz)$ la dimostrazione non fallisce, almeno per come la faccio io..
$xvvz=1vv1$
$1=1$
dove sbaglio? mi servirebbe solo questa risposta, il resto ho risolto e ti ringrazio immensamente
Si, infatti era \(y\wedge z\).
Non è necessario che fallisca per tutti gli elementi. Basta che fallisca per una tripletta.
Non è necessario che fallisca per tutti gli elementi. Basta che fallisca per una tripletta.
"vict85":
Passiamo ora a N5: Abbiamo che \(\displaystyle x \vee \{ y, z\} = 1 \) (dove con \(\displaystyle \{y, z \} \) intendo o l'uno o l'altro) e al contempo \(\displaystyle x \wedge \{ y, z\} = 0 \) inoltre si ha \(\displaystyle y\wedge y = z \) e \(\displaystyle y\vee z = y \).
Pertanto \(\displaystyle y\vee (x\wedge z) = y \vee 1 = 1 \), d'altra parte \(\displaystyle (y\vee x) \wedge (y\vee z) = 1\wedge y = y \neq 1 \). Se non ho fatto errori questo dovrebbe essere il controesempio cercato.
credo qui ci sia un altro errore, tu dici che $x^^{y,z}=0$, per poi fai $yvv(x^^z)=yvv1=1$, non dovrebbe essere $yvv0=y$?
se non sto sbagliando io farei $yvv(x^^z)=yvv0=y$ dall'altro lato $(yvvx)^^(yvvz)=1^^y=y$
dunque $y=y$ e sto sbagliando qualcosa :S o non fallisce neanche qui? allora in N5 per che tripletta fallisce?
Hai ragione errore mio. Comunque se hai capito il principio basta provare le varie possibilità e con un po' di pazienza si trova la tripletta che fa fallire il tutto.
quindi in N5
$zvv(y^^x)=(zvvy)^^(zvvx)$
$z=y$
credo debba essere così perchè z!=y$ giusto?
$zvv(y^^x)=(zvvy)^^(zvvx)$
$z=y$
credo debba essere così perchè z!=y$ giusto?
Si, è corretto.
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