Dimostrazione di gruppi "elementari".

[turtle87crociato]

Se volessi dimostrare che $(RR, +)$ è un gruppo abeliano, come dovrei fare?

In sostanza, come faccioa ragionare su espressioni del tipo $(x+y) + z = x + (y+z)$, quando so solo la definizione di somma?

[francescodd1]

devi dimostrare prima che è un gruppo ovvero

1)gode della proprieta associativa ( l'addizione è associativa)

2) esiste l'elemento neutro che è zero

3)la chiusura

4) ogni elemento è invertibile

e poi che presi a e b $a+b=b+a$ che si vede facilmente

[Martino]

Ciao, potresti per cortesia mettere un titolo che specifichi l'argomento di cui parli? Grazie.

[turtle87crociato]

1)gode della proprieta associativa ( l'addizione è associativa)

Cosa mi dice che esso valga per tutti i reali? A proposito dell'addizione, io so solo che essa è un'applicazione

$+: RR x RR in RR$, ossia un'applicazione che ad una coppia associa un valore. Le sue proprietà, semmai, dovrei ricavarmele. E questa non riesco a ricavarla.

Se prendessi due generici reali che chiamo $r_1$, $r_2$, sposterei il discorso sui monomi e la loro somma, ma mi sa tanto di circolo vizioso, poichè semmai sarebbe la somma degli elementi monomiali a doversi rifare a quella dei reali.

2) esiste l'elemento neutro che è zero

e poi che presi a e b a+b=b+a che si vede facilmente

Stesso discorso fatto sopra

3)la chiusura

Penso che per come è definita la somma, sia evidente.

Ciao, potresti per cortesia mettere un titolo che specifichi l'argomento di cui parli? Grazie.

Sì, scusa, non ce l'ho fatta con lo spazio. Provvederò.

[dissonance]

"turtle87":
$+: RR x RR in RR$, ossia un'applicazione che ad una coppia associa un valore. Le sue proprietà, semmai, dovrei ricavarmele. E questa non riesco a ricavarla.

Per forza non ci riesci: questa definizione di somma non è sufficiente. Tu qui hai detto solo che si tratta di un'operazione binaria, senza specificare nient'altro. Ma se volessi dare una definizione convincente di somma di numeri reali, dovresti passare dalla loro costruzione (cos'è per te un numero reale? un decimale con infinite cifre? una classe di equivalenza di successioni di Cauchy? ...). Diventa un casino. Infatti, spesso queste proprietà delle operazioni tra numeri reali vengono assunte assiomaticamente (e io ti consiglierei di fare altrettanto, almeno per il momento).

[IMHO] Se ti vuoi esercitare sulla definizione di gruppo, inizia dai numeri interi, e poi passa ai razionali. Ovvero, dimostra prima che $(ZZ, +)$ è un gruppo abeliano, e poi che lo è $(QQ, +)$. [/imho]

[francescodd1]

se ti vuoi esercitare io ho postato un topic "esercizi di algebra" dove c' è un esercizio sui gruppi

[turtle87crociato]

[IMHO] Se ti vuoi esercitare sulla definizione di gruppo, inizia dai numeri interi, e poi passa ai razionali. Ovvero, dimostra prima che è un gruppo abeliano, e poi che lo è . [/imho]

In questo caso il problema è analogo. Il caso $(RR, +)$ era solo un esempio. Cioè, anche qui io so che la somma è definita in un certo modo.
Ma per dimostrare che tutto sia vero, per il momento posso solo ricorrere ai monomi "simboleggianti" numeri interi e razionali. Ed utilizzare le proprietà della somma dei monomi, del prodotto tra monomi, etc.

Esempio: voglio provare che la somma tra interi sia associativa. Scelgo quindi tre interi $z_1, z_2, z_3$, li considero come monomi, e dimostro che, sviluppando ambo i membri della seguente identità, tale identità sia verificata:

$(z_1 + z_2) + z_3 = z_1 + (z_2 + z_3)$

Poi però penso a come siano state costruite le proprietà dei monomi, e lì mi vengono dei dubbi.

Non so se mi spiego.

se ti vuoi esercitare io ho postato un topic "esercizi di algebra" dove c' è un esercizio sui gruppi

Grazie, magari vedrò.

[vict85]

"turtle87":

[IMHO] Se ti vuoi esercitare sulla definizione di gruppo, inizia dai numeri interi, e poi passa ai razionali. Ovvero, dimostra prima che è un gruppo abeliano, e poi che lo è . [/imho]

In questo caso il problema è analogo. Il caso $(RR, +)$ era solo un esempio. Cioè, anche qui io so che la somma è definita in un certo modo.
Ma per dimostrare che tutto sia vero, per il momento posso solo ricorrere ai monomi "simboleggianti" numeri interi e razionali. Ed utilizzare le proprietà della somma dei monomi, del prodotto tra monomi, etc.

Esempio: voglio provare che la somma tra interi sia associativa. Scelgo quindi tre interi $z_1, z_2, z_3$, li considero come monomi, e dimostro che, sviluppando ambo i membri della seguente identità, tale identità sia verificata:

$(z_1 + z_2) + z_3 = z_1 + (z_2 + z_3)$

Poi però penso a come siano state costruite le proprietà dei monomi, e lì mi vengono dei dubbi.

Non so se mi spiego.

se ti vuoi esercitare io ho postato un topic "esercizi di algebra" dove c' è un esercizio sui gruppi

Grazie, magari vedrò.

Quando cerchi di capire se una struttura algebrica è un gruppo tu possiedi già la definizione dell'insieme e dell'operazione nell'insieme considerato. Quando tu scrivi $a+(b+c)=(a+b)+c$ tu non hai una somma generica di monomi (o una semplice sequenza di simboli) ma QUELLA somma in QUELL'insieme (e a rigore tu non stai lavorando con monomi ma con elementi generici di quell'insieme). Quindi puoi usare le definizioni dell'insieme considerato e quelle di somma nell'insieme.
Nel caso degli interi, per esempio, puoi usare la definizione ricorsiva di somma per dimostrare l'associatività... Mentre per gli insiemi maggiori vengono fatte derivare dall'associatività degli insieme numerici più piccoli. Le dimostrazioni non sono diverse da quelle che potresti trovare in un esame di matematica discreta o analisi...

In ogni caso generalmente quelle dimostrazioni sono date per scontate, non sono importanti al fine dell'esercizio che serve solamente a conoscere gruppi noti e a capire bene i significati di elementi neutri e inversi.

P.S: la teoria dei gruppi è nata dopo lo studio di ogni singolo gruppo e quindi quelle proprietà sono dimostrate al di fuori della teoria dei gruppi.