Dimostrazione di: ax=b ha soluzione
Ciao 
Mi sono accorto per errore di averla postata in logica. Non avendo però trovato risposta la riscrivo qui eliminando dall'altra parte per evitare cross posting dato che era una dimostraizone del corso di analisi su (prerequisiti) dispense.
Ho una seconda domanda semplice da porre ossia voglio dimostrare che in un gruppo l'equazione $ax=b$ ha soluzione.
La mia idea era usare l'esistenza dell'inverso: $ax=b -> a^-1ax=a^-1b -> x=a^-1b$
Però il testo fa un passo in più che mi sfugge:
dice:
-dimostriamo l'esistenza
assunto $x=a^-1b$ allora si ha $ax=a(a^-1b)=...=b$ e mostro che la soluzione esiste.
- unicità
(quanto da me sopra fatto)
La mia domanda è solamente: che senso ha la prima parte di esistenza nella dimostrazione?
A me sembra che la seconda assolva già a tutte le richieste.
Grazie per l'aiuto e scusate la domanda semplice.
Mi sono accorto per errore di averla postata in logica. Non avendo però trovato risposta la riscrivo qui eliminando dall'altra parte per evitare cross posting dato che era una dimostraizone del corso di analisi su (prerequisiti) dispense.
Ho una seconda domanda semplice da porre ossia voglio dimostrare che in un gruppo l'equazione $ax=b$ ha soluzione.
La mia idea era usare l'esistenza dell'inverso: $ax=b -> a^-1ax=a^-1b -> x=a^-1b$
Però il testo fa un passo in più che mi sfugge:
dice:
-dimostriamo l'esistenza
assunto $x=a^-1b$ allora si ha $ax=a(a^-1b)=...=b$ e mostro che la soluzione esiste.
- unicità
(quanto da me sopra fatto)
La mia domanda è solamente: che senso ha la prima parte di esistenza nella dimostrazione?
A me sembra che la seconda assolva già a tutte le richieste.
Grazie per l'aiuto e scusate la domanda semplice.
Risposte
Devi dimostrare due cose: che una soluzione esiste e che essa è unica. Una soluzione di \(ax = b\) è un valore di \(x\) che rende vera \(ax = b\); quando usi l'esistenza dell'inverso scrivendo \(ax = b \to a^{-1}ax = a^{-1}b \to x = a^{-1}b\) stai implicitamente assumendo che \(ax = b\) è vera per qualche \(x\) mentre è proprio questo quello che vuoi provare. Nella pratica il problema non sussiste perché come mostra il passaggio in più fatto sul tuo testo il percorso si può anche fare al contrario.
[xdom="gugo82"]No, non hai sbagliato a postare.
Ho spostato io in Algebra, perché quella che poni è una questione che non riguarda l'Analisi.
Per favore, stai più attento.[/xdom]
Ho spostato io in Algebra, perché quella che poni è una questione che non riguarda l'Analisi.
Per favore, stai più attento.[/xdom]
@G.D
Però non riesco a capire perché, nel senso che quando io parto da $ax=b$ e moltiplico per $a^-1$ non mi sembra di inserire alcuna ipotesi di esistenza sulla soluzione. Con vari passi giungo poi a $...x=a^{-1}b$ e questa mi pareva già essere una dimostrazione di esitenza, perché mi permette di scrivere x in un qualche modo valido e quindi esiste.
In altre parole: parto senza sapere che possa esistere una certa x, non mi pare di applicare l'ipotesi che esista nei vari passaggi e solo dopo con vari passi mostro che quell'elemento x c'è (poiché lo scrivo).
Anzi in un certo senso mi sembra di dimostrare che ce n'è almeno una di x, ma non di farvedere che c'è l'unicità come dice, non riesco bene ad afferrare il perché non sia un esistenza e perché sia una dimostrazione di unicità. (potrebbe ad esempio esistere una seconda scrittura -cui non arrivo con i passi seguiti- che renda vera l'uguaglianza per quanto ne so)
Doppio dubbio
@gugo82: chiedo davvero scusa. Il fatto che avendolo trovato nelle letture di analisi (inizio testo) ho pensato più utile postare in analisi. D'altro canto il sito non mi aveva avvisato in alcun modo dello spostamento (solo ora lo vedo, prima non appariva la freccettina di spostamento discussione) e quindi pensavo di essere impazzito e aver cliccato io la sezione sbagliata.
\(ax = b \to a^{-1}ax = a^{-1}b \to x = a^{-1}b\) stai implicitamente assumendo che \(ax = b\) è vera per qualche \(x\)
Però non riesco a capire perché, nel senso che quando io parto da $ax=b$ e moltiplico per $a^-1$ non mi sembra di inserire alcuna ipotesi di esistenza sulla soluzione. Con vari passi giungo poi a $...x=a^{-1}b$ e questa mi pareva già essere una dimostrazione di esitenza, perché mi permette di scrivere x in un qualche modo valido e quindi esiste.
In altre parole: parto senza sapere che possa esistere una certa x, non mi pare di applicare l'ipotesi che esista nei vari passaggi e solo dopo con vari passi mostro che quell'elemento x c'è (poiché lo scrivo).
Anzi in un certo senso mi sembra di dimostrare che ce n'è almeno una di x, ma non di farvedere che c'è l'unicità come dice, non riesco bene ad afferrare il perché non sia un esistenza e perché sia una dimostrazione di unicità. (potrebbe ad esempio esistere una seconda scrittura -cui non arrivo con i passi seguiti- che renda vera l'uguaglianza per quanto ne so)
Doppio dubbio
@gugo82: chiedo davvero scusa. Il fatto che avendolo trovato nelle letture di analisi (inizio testo) ho pensato più utile postare in analisi. D'altro canto il sito non mi aveva avvisato in alcun modo dello spostamento (solo ora lo vedo, prima non appariva la freccettina di spostamento discussione) e quindi pensavo di essere impazzito e aver cliccato io la sezione sbagliata.
"pamperzo":
@G.D
\(ax = b \to a^{-1}ax = a^{-1}b \to x = a^{-1}b\) stai implicitamente assumendo che \(ax = b\) è vera per qualche \(x\)
Però non riesco a capire perché, nel senso che quando io parto da $ax=b$ e moltiplico per $a^-1$ non mi sembra di inserire alcuna ipotesi di esistenza sulla soluzione. Con vari passi giungo poi a $...x=a^{-1}b$ e questa mi pareva già essere una dimostrazione di esitenza, perché mi permette di scrivere x in un qualche modo valido e quindi esiste.
In altre parole: parto senza sapere che possa esistere una certa x, non mi pare di applicare l'ipotesi che esista nei vari passaggi e solo dopo con vari passi mostro che quell'elemento x c'è (poiché lo scrivo).
Anzi in un certo senso mi sembra di dimostrare che ce n'è almeno una di x, ma non di farvedere che c'è l'unicità come dice, non riesco bene ad afferrare il perché non sia un esistenza e perché sia una dimostrazione di unicità. (potrebbe ad esempio esistere una seconda scrittura -cui non arrivo con i passi seguiti- che renda vera l'uguaglianza per quanto ne so)
Doppio dubbio
@gugo82: chiedo davvero scusa. Il fatto che avendolo trovato nelle letture di analisi (inizio testo) ho pensato più utile postare in analisi. D'altro canto il sito non mi aveva avvisato in alcun modo dello spostamento (solo ora lo vedo, prima non appariva la freccettina di spostamento discussione) e quindi pensavo di essere impazzito e aver cliccato io la sezione sbagliata.
Sinceramente non mi è ancora chiarissimo, faccio un up sperando ancora in un aiuto. Scusate la domanda stupida..
Qual era la necessità di citare TUTTO il tuo messaggio precedente? Bastavano le due righe che hai aggiunto che non erano neppure necessarie in quanto bastava usare il tasto "bump" che serve esclusivamente per fare un "up".
"pamperzo":
@G.D
\(ax = b \to a^{-1}ax = a^{-1}b \to x = a^{-1}b\) stai implicitamente assumendo che \(ax = b\) è vera per qualche \(x\)
Però non riesco a capire perché, nel senso che quando io parto da $ax=b$ e moltiplico per $a^-1$ non mi sembra di inserire alcuna ipotesi di esistenza sulla soluzione.
Invece sì, perchè quando scrivi $ax=b$ devi dire cosa sono e dove vivono $a,x,b$. Ti sembra di non usare ipotesi perchè sorvoli sul significato della scrittura. La prova invece segue questa logica, ovvero: supponi che $\overline{x}\in G$ soddisfi $a\overline{x}=b$. Allora moltiplicando per $a^{-1}$ segue che $\overline{x}=a^{-1}b$, quindi la soluzione se esiste è unica. D'altronde scegliendo $\overline{x}=a^{-1}b$ si ha che $a\overline{x}=b$, quindi esiste sempre una soluzione all'equazione $ax=b$.
Scusate se continuo questa discussione un po' vecchia, ma mi sembra inutile spezzettare in una seconda discussione identica e anche per lettori futuri potrebbe essere più utile avere una unica stanza.
venendo alla domanda:
Credo di non comprendere appieno perché questo passaggio di moltiplicare per $a^-1$ mi garantisca l'unicità. Mi verebbe da dire che io in tal modo dimostro che se esiste una soluzione può avere tale forma, ma non che tutte siano per forza così. Cosa mi garantisce non esista una soluzione diversa (cioè l'unicità), in quale passaggio risiede questo fatto?
Vi ringrazio.
venendo alla domanda:
"hydro":
supponi che $\overline{x}\in G$ soddisfi $a\overline{x}=b$. Allora moltiplicando per $a^{-1}$ segue che $\overline{x}=a^{-1}b$, quindi la soluzione se esiste è unica
Credo di non comprendere appieno perché questo passaggio di moltiplicare per $a^-1$ mi garantisca l'unicità. Mi verebbe da dire che io in tal modo dimostro che se esiste una soluzione può avere tale forma, ma non che tutte siano per forza così. Cosa mi garantisce non esista una soluzione diversa (cioè l'unicità), in quale passaggio risiede questo fatto?
Vi ringrazio.
"aritmetico":
[quote="hydro"]supponi che $\overline{x}\in G$ soddisfi $a\overline{x}=b$. Allora moltiplicando per $a^{-1}$ segue che $\overline{x}=a^{-1}b$, quindi la soluzione se esiste è unica
Credo di non comprendere appieno perché questo passaggio di moltiplicare per $a^-1$ mi garantisca l'unicità. Mi verebbe da dire che io in tal modo dimostro che se esiste una soluzione può avere tale forma, ma non che tutte siano per forza così. Cosa mi garantisce non esista una soluzione diversa (cioè l'unicità), in quale passaggio risiede questo fatto?
Vi ringrazio.[/quote]
Vedila così se preferisci. Supponi che $x_1,x_2$ siano due soluzioni dell'equazione $ax=b$. Ciò significa che $ax_1=b$ e $ax_2=b$. Moltiplica a sx entrambe queste relazioni per $a^{-1}$. Otterrai che $x_1=a^{-1}b$ e $x_2=a^{-1}b$. Segue immediatamente che $x_1=x_2$. Ergo, non possono esistere due soluzioni distinte, quindi la soluzione se esiste è unica.
Grazie mille, mi ero risposto così in effetti. Ora ho la certezza sia corretto
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