- Dimostrazione Di Algebra lineare -

[applef396]

Salve a tutti!

Mi sono imbattuto su alcuni esercizi di algebra lineare, ed in particolare su questa dimostrazione:
"Ogni funzione lineare f: R^2 → R^3 è iniettiva" .
Ho notato che una funzione lineare di questo tipo non può essere di tipo suriettivo, perché per il teorema della dimensione si avrebbe che la dimensione del nucleo = - 1 (il che è impossibile), inoltre ho provato a impostare la dimostrazione per assurdo (ovvero "Ogni funzione lineare f: R2 → R3 non è iniettiva" ).
Così facendo la funzione lineare f: R^2 → R^3 se non è iniettiva, una base di R^2 non può avere come immagine una famglia di vettori in R^3 di tipo indipendente, così ho trovato il contro-esempio;
però così ammetto che esistono funzioni iniettive di questo tipo e non che tutte le funzioni f: R^2 → R^3 sono iniettive...

Chiedo gentilmente un aiuto, in quanto alle prime armi con Algebra..
Grazie mille!

[zambozembo]

Consideriamo l'applicazione:

$f:\mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^3$

con:

$f(v)=0_(\mathbb{R^3}) \ \forall v \in \mathbb{R}^2$

$f$ è lineare, infatti:

$f(v_1)+f(v_2)=0_(\mathbb{R^3}) + 0_(\mathbb{R^3}) = 0_(\mathbb{R^3}) = f(v_1+v_2) \ \ \forall v_1, v_2 \in \mathbb{R}^2$

e

$f(\lambda v)=0_(\mathbb{R^3})=\lambda \dot 0_(\mathbb{R^3})=\lambda f(v) \ \ \forall v \in \mathbb{R}^2 $

Chiaramente, f non è iniettiva. Come pensavi tu, l'asserto è falso.

[applef396]

Grazie Mille!!!