Dimostrazione di algebra

[donatella131289]

Siano a, b interi positivi tali che MCD(a,b)=1 . Dimostare che MCD(2a+3b, 3a+2b)=1 oppure 5
Mi date una mano a capire come posso risolvere questi tipi di esercizi? Ho provato a risolverli con l'algoritmo della divisione ma non ottengo molto.Anche solo l'incipit iniziale, un suggerimento per poter andare avanti da sola. Grazie

[amel3]

Questo tipo di esercizi usa le proprietà legate alla divisibilità fra interi.
In pratica il risultato che dobbiamo provare è che un divisore comune di $2a+3b$ e $3a+2b$ è o 1 o 5: su questo direi che ci siamo.

Dunque, ricordiamo che, in generale, se $d|g$ e $d|h$, allora $d|(sg+th)$, con $s,t in ZZ$. (*)
Nel nostro caso, consideriamo un intero $d$ che divide $2a+3b$ e $3a+2b$; per (*), $d$ divide $-2(2a+3b)+3(3a+2b)=5a$ e $3(2a+3b)-2(3a+2b)=5b$.

Ok, prova ad andare avanti tu.
Se proprio non ci riesci, clicca sotto (a tuo rischio e pericolo).

Allora possiamo avere (usando la proprietà: se $m,n$ sono interi primi fra loro, se $d|mn$, allora o $d|m$ o $d|n$):
1. $5|a$ e $5|b$: impossibile ($a$ e $b$ primi fra loro).

2. 5 divide $a$, ma non $b$:
2a. $d|5$ e $d|b$ e perciò $d=1$ o $d=5$.
oppure
2b. $d|a$ e $d|b$ e perciò ($a$ e $b$ primi fra loro) $d=1$.

3. 5 divide $b$, ma non $a$:
3a. $d|5$ e $d|a$ e perciò $d=1$ o $d=5$.
oppure
3b. $d|a$ e $d|b$ e perciò ($a$ e $b$ primi fra loro) $d=1$.

4. 5 non divide nè $a$ nè $b$:
$d|a$ e $d|b$ e perciò ($a$ e $b$ primi fra loro) $d=1$.

In definitiva, possiamo avere soltanto $d=1$ o $d=5$.

Spero che torni...(di solto, di dieci cose fatte, me ne riesce mezza...)

[donatella131289]

Non è che mi sia molto chiaro ma grazie davvero per avermi risposto!

[amel3]

Ok scusa per la scarsa chiarezza. Intanto io ho usato queste due proprietà.

1. Siano $d,g,h$ interi. Se $d|g$ e $d|h$, allora $d|(sg+th)$, $\forall s,t in ZZ$.

2. Siano $d,g,h$ interi, dove $g$ e $h$ sono primi fra loro ($MCD(g,h)=1$). Se $d|gh$, allora o $d|g$ o $d|h$.

Su queste ci siamo?

[donatella131289]

Si, quelle due proprietà mi sono chiare...è che nn ho capito bene come le hai utilizzate

[amel3]

1. Siano $d,g,h$ interi. Se $d|g$ e $d|h$, allora $d|(sg+th)$, $\forall s,t in ZZ$.

2. Siano $d,g,h$ interi, dove $g$ e $h$ sono primi fra loro ($MCD(g,h)=1$). Se $d|gh$, allora o $d|g$ o $d|h$.

Ok, procediamo per gradi.
Io devo provare che $MCD(2a+3b,3a+2b)=1$ o $5$.

a.
Chiaramente, per la stessa definizione di MCD, il MCD è divisore sia di $2a+3b$ che di $3a+2b$. Se io provo che un qualunque divisore comune di $2a+3b$ e $3a+2b$ è 1 o 5 siamo a posto. Basterà prendere, infatti, una volta provato ciò, $d=MCD$.

b.
Prendo allora a questo punto un divisore $d$ comune qualsiasi $2a+3b$ e $3a+2b$; devo dimostrare che è 1 o 5. Ora, come detto, $d|(2a+3b)$ e $d|(3a+2b)$. Uso la proprietà (1), con $g=2a+3b$ e $h=3a+2b$:
$d|(-2(2a+3b)+3(3a+2b))=5a$ (si è preso $s=-2$ e $t=3$)
$d|(3(2a+3b)-2(3a+2b))=5b$ (si è preso $s=3$ e $t=-2$)
Quindi ho:
$d|5a$
$d|5b$


Fin qui ci siamo?

[donatella131289]

Si, ci sono...l'unica cosa è che mi soffermo su un passaggio...dimostare ke entrambi sono divisi da 5 non equivale a dimostrare che 5 è il loro MCD...perchè 5 potrebbe essere un loro divisore comune e nn il MCD...magari però sbaglio

[amel3]

"Donatella.studente":Si, ci sono...l'unica cosa è che mi soffermo su un passaggio...dimostare ke entrambi sono divisi da 5 non equivale a dimostrare che 5 è il loro MCD...perchè 5 potrebbe essere un loro divisore comune e nn il MCD...magari però sbaglio

Sì però se io dico: prendo un qualunque generico divisore comune. Allora questo è per forza o 1 o 5.
Il MCD è un divisore comune. Che valori possono assumere i divisori comuni? 1 o 5. Il MCD è un divisore comune pure lui e quindi può essere eventualmente soltanto o 1 o 5.
Poi magari sono io che a volte mi intestardisco su affermazioni completamente false, eh non si sa mai...

[leonzio2]

salve, sono un ragazzo che fa la 1° media. scrivo a voi più grandi perché vorrei sapere se si può dimostrare questa proprietà dei numeri che ho scoperto: prendendo 1 coppia di numeri qualsiasi la cui somma delle cifre è la stessa (es: 95 e 14 che hanno per somma 5- ma è valido per ogni ese mpio che mi viene in mente) la differenza tra i più grande e il più piccolo è sempre un mutiplo di 9. e se sono entrambi pari o entrambi dispari la differenza è un mutiplo di 18. provate anche voi con tutte e coppie che vi vengono in mente, e noterete che funziona sempre. mia zia che fa la prof dice che però va dimostrato, potete aiutarmi? grazie a tutti.
ciao