Dimostrazione delle proprietà del valore assoluto

[mc80]

Ciao a tutti,
sono alle prese con la dimostrazione de

$|xy|=|x||y|$

In rete trovo solo dimostrazioni basate sulla radice quadrata o sullo studio dei casi del segno di x e y, io invece cerco una dimostrazione semplice basata possibilmente sulla definizione (qualcosa di simile alla dimostrazione della disuguaglianza triangolare). Esite? Qualcuno la conosce?

Grazie!

[nicolaflute]

Credo sia così :dato che il valore assoluto ha la funzione di rendere qualsiasi numero ci sia all'interno positivo (se non sbaglio ; correggetemi se sbaglio) quindi siccome stai considerando il prodotto di due numeri che saranno per forza positivi credo sia logico che anche il prodotto lo sarà; intendo positivo. No?? Qualcuno mi correga se sbaglio.

[dissonance]

Non è proprio così, Nicola. Quella identità si dimostra considerando i vari casi possibili: se $x, y$ sono positivi tutti e due, allora $|xy|=xy$ e anche $|x||y|=xy$, quindi essa è verificata; se $x$ è positivo e $y$ è negativo, allora $|xy|=-xy$ e $|x|=x, |y|=-y$ quindi $|x||y|=-xy$ e la formula è verificata, se $x$ è negativo e $y$ è positivo (eccetera...).

[nicolaflute]

Ah ok anch'io stavo scrivendo quello. Poi mi sono fermato perchè mi sono confuso; quindi si considerano tutti i casi fino ad ottenere -xy e xy dove il primo si ottiene quando x e y sono in discordanza di segno mentre il secondo si ottiene quando sono in concordanza.
e se si fa un'analisi |xy|= xy se [tex]xy\geq0[/tex] mentre si ottiene [tex]-xy[/tex] se xy<0 quindi x<0 o y <0(si considera o l'uno o l'altro.No? E infinie si ottengoo i casi che stavi dicendo tu. Giusto?

[gugo82]

Se uno parte dalla definizione [tex]$|t|:=\max \{ t,-t\}$[/tex], una dimostrazione può essere questa: supponendo [tex]$x\geq 0$[/tex] per comodità (ciò non lede la generalità, come dimostrato appresso), si ha:

[tex]$|xy|=\max\{ xy,-xy\} $[/tex]
[tex]$=\max \{ xy, x(-y)\}$[/tex]
[tex]$=x \max \{ y,-y\}$[/tex] (le costanti positive possono essere tirate fuori dal massimo)
[tex]$=x\cdot |y|$[/tex]
[tex]$=|x| \cdot |y|$[/tex].

La generalità non è lesa perchè, visto che dalla stesa definizione segue [tex]$|-x|=|x|$[/tex], se [tex]$x<0$[/tex] si ha:

[tex]$|xy|=|-(-x)y|=|(-x)y|=|-x|\cdot |y|=|x|\cdot |y|$[/tex].

Ma altre dimostrazioni sono possibili...

Ad esempio, definisco l'applicazione [tex]$\phi :\mathbb{C} \ni a+\imath \alpha \mapsto a^2+\alpha^2\in [0,+\infty[$[/tex].
Presi arbitrariamente due numeri complessi [tex]$x+\imath \xi ,y+\imath \eta$[/tex], voglio calcolare esplicitamente [tex]$\phi ((x+\imath \xi)\cdot (y+\imath \eta))$[/tex]: ricordata la definizione di prodotto di numeri complessi* trovo:

[tex]$\phi ((x+\imath \xi)\cdot (y+\imath \eta))=\phi ((xy -\xi \eta)+\imath (x\eta +\xi y))$[/tex]
[tex]$=(xy -\xi \eta)^2+ (x\eta +\xi y)^2$[/tex]
[tex]$=x^2y^2+x^2\eta^2-2xy\xi \eta+2xy\xi\eta+\xi^2\eta^2+\xi^2y^2$[/tex]
[tex]$=(x^2+\xi^2)(y^2+\eta^2)$[/tex],

quindi è:

[tex]$\phi ((x+\imath \xi)\cdot (y+\imath \eta))=\phi (x+\imath \xi)\cdot \phi(y+\imath \eta)$[/tex];

prendendo [tex]$\xi=0=\eta$[/tex] la precedente implica:

(*) [tex]$\phi(xy)=\phi(y)\phi(y)$[/tex]

per ogni valore di [tex]$x,y\in \mathbb{R}$[/tex].
A questo punto, per definizione di valore assoluto si ha [tex]$\sqrt{\phi (\cdot)}=|\cdot|$[/tex]** in [tex]$\mathbb{R}$[/tex] e quindi la (*) si riscrive [tex]$|xy|^2=|x|^2\cdot |y|^2$[/tex], ossia:

[tex]$|xy|=|x|\cdot |y|$[/tex],

come si voleva.

Il gioco vale la candela?
Secondo me no; però ogni tanto cambiare fa bene.


__________
* Assegnati due numeri complessi [tex]$x+\imath \xi$[/tex] ed [tex]$y+\imath \eta$[/tex], il prodotto [tex]$(x+\imath \xi)\cdot (y+\imath \eta)$[/tex] è, per definizione, il numero complesso [tex]$(x\xi -y\eta)+\imath (x\eta +y\xi)$[/tex].

** Invero, per definizione è [tex]$|x|:=\max \{ x,-x\} \geq 0$[/tex], quindi [tex]$|x^2|=\max \{ x^2,-x^2\}=x^2=(\max \{ x,-x\})^2=|x|^2$[/tex].

[mc80]

Ringrazio tutti per le risposte.

Devo dire che la dimostrazione che parte dalla definizione di massimo è la prima volta che la vedo (molto interessante). Quella in $\mathbb{C}$ è molto alternativa ma preferisco la prima perché vale anche su $\mathbb{Z}$.

Lasciatemi esprimere la felicità di aver trovato questo forum!