Dimostrazione della proprietà commutativa dell' unione "U"
Non sono riuscito ancora a capire come si dimostra una proprietà qualsiasi nella teoria degli insiemi, ovverosia quale sia il ragionamento logico da fare. Mi spiego meglio.
Se devo dimostrare la proprietà commutativa dell' unione tra due insiemi A e B, scritta nel modo seguente:
$ A uu B = B uu A $
allora il ragionamento che faccio io per dimostrare la veridicità di quanto scritto sopra è il seguente:
$ (AuuB) => x in (A uu B) <=> x in A -o- x in B <=> x in B -o- x in A <=> x in (B uu A) $ *
Questo è il massimo che riesco a fare, cioè poco o niente. So che non è giusto ma non riesco proprio ad arrivare alla prima uguaglianza. Come faccio?
* il segno -o- sta per "vel" (non so come dovevo scriverlo mediante il programma). Come si fa a scriverlo? Cosa devo digitare?
Se devo dimostrare la proprietà commutativa dell' unione tra due insiemi A e B, scritta nel modo seguente:
$ A uu B = B uu A $
allora il ragionamento che faccio io per dimostrare la veridicità di quanto scritto sopra è il seguente:
$ (AuuB) => x in (A uu B) <=> x in A -o- x in B <=> x in B -o- x in A <=> x in (B uu A) $ *
Questo è il massimo che riesco a fare, cioè poco o niente. So che non è giusto ma non riesco proprio ad arrivare alla prima uguaglianza. Come faccio?
* il segno -o- sta per "vel" (non so come dovevo scriverlo mediante il programma). Come si fa a scriverlo? Cosa devo digitare?
Risposte
Salve vinx91ct,
il simbolo vel è dato dalla seguente digitazione
Cordiali saluti
"vinx91ct":
* il segno -o- sta per "vel" (non so come dovevo scriverlo mediante il programma). Come si fa a scriverlo? Cosa devo digitare?
il simbolo vel è dato dalla seguente digitazione
$vv$
Cordiali saluti
Salve vinx91ct,
allora io lo dimostrerei così:
per verificare che $A uu B= B uu A$ mi rifaccio alla dimostrazione della doppia inclusione ovvero $(A uu B sube B uu A) ^^ (B uu A sube A uu B) $, dimostriamo per prima che $A uu B sube B uu A$ ovvero che $AAx in A uu B(x in B uu A)$, allora se $x in A uu B$ allora $x in A vv x in B$, siccome la disgiunzione è commutativa, allora $x in B vv x in A$ ovvero $x in B uu A$ che era quello che volevasi dimostrare.. la stessa cosa vale anche per $B uu A sube A uu B$.. e quindi è vero che $(A uu B sube B uu A) ^^ (B uu A sube A uu B) $ ovvero che $A uu B= B uu A$.
Cordiali saluti
allora io lo dimostrerei così:
per verificare che $A uu B= B uu A$ mi rifaccio alla dimostrazione della doppia inclusione ovvero $(A uu B sube B uu A) ^^ (B uu A sube A uu B) $, dimostriamo per prima che $A uu B sube B uu A$ ovvero che $AAx in A uu B(x in B uu A)$, allora se $x in A uu B$ allora $x in A vv x in B$, siccome la disgiunzione è commutativa, allora $x in B vv x in A$ ovvero $x in B uu A$ che era quello che volevasi dimostrare.. la stessa cosa vale anche per $B uu A sube A uu B$.. e quindi è vero che $(A uu B sube B uu A) ^^ (B uu A sube A uu B) $ ovvero che $A uu B= B uu A$.
Cordiali saluti
Wow, alla faccia della semplicità 
Che cosa significa la frase che hai detto: "[...]siccome la disgiunzione è commutativa[...]"?
Il problema è capire se ci sei arrivato per logica senza conoscere le proprietà degli insiemi oppure conoscevi già quella proprietà?
Quando si vuole dimostrare una proprietà qualsiasi degli insiemi, occorre necessariamente sapere tutte le proprietà (dalla commutativa alla distributiva)?
Per esempio posso dimostrare tutte le proprietà degli insiemi con le tabelle di verità come viene mostrato in questo sito -> http://www.lezionidimatematica.net/Insiemi/approfondimenti/ins_approfondimento_06.htm. Personalmente mi verrebbe MOOLTO più semplice da ricordare, semplicemente perché non ci sarebbe nulla da imparare a memoria e tutto da svolgere logicamente. Secondo voi è ammissibile una verifica del genere in un compito scritto in ambito universitario?
Grazie ovviamente della soluzione
Che cosa significa la frase che hai detto: "[...]siccome la disgiunzione è commutativa[...]"?
Il problema è capire se ci sei arrivato per logica senza conoscere le proprietà degli insiemi oppure conoscevi già quella proprietà?
Quando si vuole dimostrare una proprietà qualsiasi degli insiemi, occorre necessariamente sapere tutte le proprietà (dalla commutativa alla distributiva)?
Per esempio posso dimostrare tutte le proprietà degli insiemi con le tabelle di verità come viene mostrato in questo sito -> http://www.lezionidimatematica.net/Insiemi/approfondimenti/ins_approfondimento_06.htm. Personalmente mi verrebbe MOOLTO più semplice da ricordare, semplicemente perché non ci sarebbe nulla da imparare a memoria e tutto da svolgere logicamente. Secondo voi è ammissibile una verifica del genere in un compito scritto in ambito universitario?
Grazie ovviamente della soluzione
"garnak.olegovitc":
Salve vinx91ct,
[quote="vinx91ct"]
* il segno -o- sta per "vel" (non so come dovevo scriverlo mediante il programma). Come si fa a scriverlo? Cosa devo digitare?
il simbolo vel è dato dalla seguente digitazione
$vv$
Cordiali saluti[/quote]
Grazie anche a te. Molto utile.
Già che ci siamo: come si scrive "aut" (cioè la congiunzione)?
Salve vinx91ct,
quando dico che la disgiunzione è commutativa intendo dire nel senso di questo... comunque guarda questi appunti a pg 88..
Vi sono altri modi per dimostrare proprietà come la commutatività, come il metodo grafico il quale però presenta complicazioni se operiamo con molti più insiemi..
Quello con le tabelle di verità dell'appartenenza l'ho letta in alcuni appunti, e rilancio i tuoi con i seguenti:
http://users.dimi.uniud.it/~gianluca.go ... nsiemi.pdf
Sò che esistono metodi di dimostrazione che non fanno uso di argomenti logici... però non me ne viene in mente nessuno.
Se il tuo docente non spiega la dimostrazione tramite tabelle di verità dell'appartenenza non penso che utilizzare quel modo, senza averlo reso noto al docente, potrebbe giovare... prova a chiederglielo!
Cordiali saluti
"vinx91ct":
Wow, alla faccia della semplicità
Che cosa significa la frase che hai detto: "[...]siccome la disgiunzione è commutativa[...]"?
Il problema è capire se ci sei arrivato per logica senza conoscere le proprietà degli insiemi oppure conoscevi già quella proprietà?
Quando si vuole dimostrare una proprietà qualsiasi degli insiemi, occorre necessariamente sapere tutte le proprietà (dalla commutativa alla distributiva)?
Per esempio posso dimostrare tutte le proprietà degli insiemi con le tabelle di verità come viene mostrato in questo sito -> http://www.lezionidimatematica.net/Insiemi/approfondimenti/ins_approfondimento_06.htm. Personalmente mi verrebbe MOOLTO più semplice da ricordare, semplicemente perché non ci sarebbe nulla da imparare a memoria e tutto da svolgere logicamente. Secondo voi è ammissibile una verifica del genere in un compito scritto in ambito universitario?
Grazie ovviamente della soluzione
quando dico che la disgiunzione è commutativa intendo dire nel senso di questo... comunque guarda questi appunti a pg 88..
Vi sono altri modi per dimostrare proprietà come la commutatività, come il metodo grafico il quale però presenta complicazioni se operiamo con molti più insiemi..
Quello con le tabelle di verità dell'appartenenza l'ho letta in alcuni appunti, e rilancio i tuoi con i seguenti:
http://users.dimi.uniud.it/~gianluca.go ... nsiemi.pdf
Sò che esistono metodi di dimostrazione che non fanno uso di argomenti logici... però non me ne viene in mente nessuno.
Se il tuo docente non spiega la dimostrazione tramite tabelle di verità dell'appartenenza non penso che utilizzare quel modo, senza averlo reso noto al docente, potrebbe giovare... prova a chiederglielo!
Cordiali saluti
Salve vinx91ct,
ma l'aut da te voluto è questo o questo???
Io sò che l'aut si riferisce alla disgiunzione esclusiva.
Cordiali saluti
"vinx91ct":
Grazie anche a te. Molto utile.
ma l'aut da te voluto è questo o questo???
Io sò che l'aut si riferisce alla disgiunzione esclusiva.
Cordiali saluti
"garnak.olegovitc":
Salve vinx91ct,
[quote="vinx91ct"]
Grazie anche a te. Molto utile.
ma l'aut da te voluto è questo o questo???
Io sò che l'aut si riferisce alla disgiunzione esclusiva.
Cordiali saluti[/quote]
Intendevo la congiunzione logica. Il secondo tipo.
Salve vinx91ct,
Cordiali saluti
P.S.=Preciso che in latino l'equivalente della congiunzione è "et"
$^^$
Cordiali saluti
P.S.=Preciso che in latino l'equivalente della congiunzione è "et"
"garnak.olegovitc":
Salve vinx91ct,
[quote="vinx91ct"]Wow, alla faccia della semplicità
Che cosa significa la frase che hai detto: "[...]siccome la disgiunzione è commutativa[...]"?
Il problema è capire se ci sei arrivato per logica senza conoscere le proprietà degli insiemi oppure conoscevi già quella proprietà?
Quando si vuole dimostrare una proprietà qualsiasi degli insiemi, occorre necessariamente sapere tutte le proprietà (dalla commutativa alla distributiva)?
Per esempio posso dimostrare tutte le proprietà degli insiemi con le tabelle di verità come viene mostrato in questo sito -> http://www.lezionidimatematica.net/Insiemi/approfondimenti/ins_approfondimento_06.htm. Personalmente mi verrebbe MOOLTO più semplice da ricordare, semplicemente perché non ci sarebbe nulla da imparare a memoria e tutto da svolgere logicamente. Secondo voi è ammissibile una verifica del genere in un compito scritto in ambito universitario?
Grazie ovviamente della soluzione
quando dico che la disgiunzione è commutativa intendo dire nel senso di questo... comunque guarda questi appunti a pg 88..
Vi sono altri modi per dimostrare proprietà come la commutatività, come il metodo grafico il quale però presenta complicazioni se operiamo con molti più insiemi..
Quello con le tabelle di verità dell'appartenenza l'ho letta in alcuni appunti, e rilancio i tuoi con i seguenti:
http://users.dimi.uniud.it/~gianluca.go ... nsiemi.pdf
Sò che esistono metodi di dimostrazione che non fanno uso di argomenti logici... però non me ne viene in mente nessuno.
Se il tuo docente non spiega la dimostrazione tramite tabelle di verità dell'appartenenza non penso che utilizzare quel modo, senza averlo reso noto al docente, potrebbe giovare... prova a chiederglielo!
Cordiali saluti[/quote]
Mi sono confuso più di prima eheh
Facciamo che restiamo alla prima dimostrazione che mi hai scritto. Diciamo pure che esistono tante altre dimostrazioni ma - come hai ben detto - il mio prof non l' ha spiegata né graficamente (in quel caso sarebbe più giusto parlare di verifica informale più che di dimostrazione) né tantomeno con le tabelle di verità. Non mi resta che capire allora tutte le altre.
Per esempio, come si dimostra questo? Sia A = { a,b }. Determinare P (P(A)). Scrivere anche P { }.
In questo caso il prof. mi chiede di determinare l' insieme delle parti dell' insieme delle parti dell' insieme A, compreso l' insieme vuoto. Come diamine si fa?
Salve vinx91ct,
io ti direi di capire bene quella segnalata negli appunti del dott. G.Lolli.
Cordiali saluti
io ti direi di capire bene quella segnalata negli appunti del dott. G.Lolli.
Cordiali saluti
Ti riferivi forse agli appunti di G.Gorni e a pag. 8 c' è quello che cercavo. Grazie.
Salve vinx91ct,
semplice, ti basta la nozione di sottoinsieme improprio ed a partire da un insieme costruirti i suoi sottoinsiemi impropri, sappiamo che dato un insieme $A$ la scrittura $P(A)$ denota l'insieme ${X|X sube A}$ ovvero, nel caso in cui $A={a,b}$, l'insieme $P(A)={O/, A,{a},{b}}$ reiterando il ragionamente per $P(A)$ avremo che $P(P(A))={O/,P(A),{O/,A},{O/,{a}},{O/,{b}},{A,{a}},{A,{b}},{{a},{b}},{O/},{A},{{a}},{{b}},$
${O/,A,{a}},{O/,A,{b}},{O/,{a},{b}},{A,{a},{b}}}$
Per quanto riguarda l'insieme $P(O/)={O/}$
Spero di non aver fatto errori!
Cordiali saluti
"vinx91ct":
Per esempio, come si dimostra questo? Sia A = { a,b }. Determinare P (P(A)). Scrivere anche P { }.
In questo caso il prof. mi chiede di determinare l' insieme delle parti dell' insieme delle parti dell' insieme A, compreso l' insieme vuoto. Come diamine si fa?
semplice, ti basta la nozione di sottoinsieme improprio ed a partire da un insieme costruirti i suoi sottoinsiemi impropri, sappiamo che dato un insieme $A$ la scrittura $P(A)$ denota l'insieme ${X|X sube A}$ ovvero, nel caso in cui $A={a,b}$, l'insieme $P(A)={O/, A,{a},{b}}$ reiterando il ragionamente per $P(A)$ avremo che $P(P(A))={O/,P(A),{O/,A},{O/,{a}},{O/,{b}},{A,{a}},{A,{b}},{{a},{b}},{O/},{A},{{a}},{{b}},$
${O/,A,{a}},{O/,A,{b}},{O/,{a},{b}},{A,{a},{b}}}$
Per quanto riguarda l'insieme $P(O/)={O/}$
Spero di non aver fatto errori!
Cordiali saluti
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