Dimostrazione della negazione di quantificatori

[Dany_951]

Ciao a tutti
Sapete dirmi come dimostrare la {2.4} usando la {2.3} e la proprietà della doppia negazione??? Grazie

[non(∀x, A(x)] ⇐⇒ [∃x : non(A(x))] {2.3}

[non(∃x : A(x)] ⇐⇒ [∀x, non(A(x))] {2.4}

[vlander]

La proprietà della doppia negazione equivale al fatto che ogni proposizione è equivalente alla sua contronominale, cioè
$$a \rightarrow b \Longleftrightarrow \neg b \rightarrow \neg a$$

Partendo dunque dalla 2.3, hai che

$$\neg (\forall x . A(x)) \Longleftrightarrow \exists x . \neg A(x)$$

equivale a

$$\neg (\exists x . \neg A(x)) \Longleftrightarrow \neg (\neg (\forall x . A(x)))$$

che equivale a

$$\neg (\exists x . \neg A(x)) \Longleftrightarrow \forall x . A(x)$$

che equivale a

$$\neg (\exists x . A(x)) \Longleftrightarrow \forall x . \neg A(x)$$

che è la 2.4, e siccome hai per ipotesi la 2.3 hai che vale anche la 2.4.