Dimostrazione del teorema di Schur-Zassenhaus
Sto studiando sempre sul mitico Robinson, A course in the theory of groups, la dimostrazione del teorema di Schur-Zassenhaus, ma non mi è chiara la parte sul coniugio nel caso del quoziente $G/N$ risolubile. In particolare, non mi è chiaro, tra le altre cose, perché per $J$ sono soddisfatte le ipotesi del teorema, cosa che permette il passo induttivo... se aveste il riferimento mi fareste un favore, perché ci metterei un sacco a riportare la dimostrazione! Grazie mille
Risposte
Ho riportato la dimostrazione nel mio pdf, vedi qui pagine 48 e seguenti. La trovo chiara, fammi sapere se trovi problemi. Purtroppo ora non ti posso seguire perche' non ho il Robinson sottomano.
Ciao Martino, grazie per il pdf, ho provato a leggerlo, ma mi è difficile adattare la dimostrazione tua a quella di Robinson, che ci tenevo a seguire abbastanza fedelmente... da inesperto, mi pare facciate uso di prospettive e argomentazioni abbastanza diverse, che non riesco a conciliare facilmente. Se hai tempo di darci un'occhiata in questi giorni e di chiarirmi le idee su come opera l'induzione, te ne sono molto grato.
Comunque, dato che usate notazioni abbastanza simili, ti do intanto un'idea non dettagliata di cosa dice il Robinson.
Abbiamo il nostro gruppo $G$ e il sottogruppo normale $N$ di ordine $n$, e vogliamo mostrare che nell'ipotesi di $G/N$ risolubile, presi due sottogruppi $H$ e $K$ di ordine $m$ essi sono coniugati in $G$.
Allora lui, con considerazioni analoghe alle tue, vede che un sottogruppo normale minimale $L/N$ di $G/N$ è un $p$-gruppo abeliano elementare per qualche primo $p | m$, e da lì dimostra che i $p$-Sylow $H\cap L$ e $K\cap L$ sono coniugati in $G$, e si ha $H\cap L=(K^g) \cap L$ per qualche $g\in G$. Quindi dimostra che $H \cap L$ è normale nel sottogruppo generato da $H$ e $K^g$ (quest'ultimo lo chiama $J$), e che $J$ è sottogruppo proprio di $G$. Da qui immagino che voglia usare il passo induttivo sul sottogruppo proprio $J$ per dedurre il coniugio in $J$ di $H$ e $K^g$, e dunque la tesi. Il problema mio è: come fa a trovare un sottogruppo normale in $J$ che verifica le ipotesi di coprimalità del teorema per applicare a $J$ il passo induttivo?
Comunque, dato che usate notazioni abbastanza simili, ti do intanto un'idea non dettagliata di cosa dice il Robinson.
Abbiamo il nostro gruppo $G$ e il sottogruppo normale $N$ di ordine $n$, e vogliamo mostrare che nell'ipotesi di $G/N$ risolubile, presi due sottogruppi $H$ e $K$ di ordine $m$ essi sono coniugati in $G$.
Allora lui, con considerazioni analoghe alle tue, vede che un sottogruppo normale minimale $L/N$ di $G/N$ è un $p$-gruppo abeliano elementare per qualche primo $p | m$, e da lì dimostra che i $p$-Sylow $H\cap L$ e $K\cap L$ sono coniugati in $G$, e si ha $H\cap L=(K^g) \cap L$ per qualche $g\in G$. Quindi dimostra che $H \cap L$ è normale nel sottogruppo generato da $H$ e $K^g$ (quest'ultimo lo chiama $J$), e che $J$ è sottogruppo proprio di $G$. Da qui immagino che voglia usare il passo induttivo sul sottogruppo proprio $J$ per dedurre il coniugio in $J$ di $H$ e $K^g$, e dunque la tesi. Il problema mio è: come fa a trovare un sottogruppo normale in $J$ che verifica le ipotesi di coprimalità del teorema per applicare a $J$ il passo induttivo?
come fa a trovare un sottogruppo normale in [tex]J[/tex] che verifica le ipotesi di coprimalità del teorema per applicare a [tex]J[/tex] il passo induttivo?Hai provato con [tex]J \cap N[/tex]? Hai che [tex]JN=G[/tex] (dato che [tex]J[/tex] contiene [tex]H[/tex]) e quindi [tex]G/N = JN/N \cong J/J \cap N[/tex] (secondo teorema di isomorfismo), da cui [tex]m=|G:N|=|J:J \cap N|[/tex] e direi che ora puoi applicare a pieno diritto lo scatto induttivo.
Era la prima cosa cui avevo pensato, ma mi pareva non andasse bene perché pensavo che $J$ fosse un $\pi$-gruppo, con $\pi$ l'insieme dei divisori primi di $m$, ma ripensandoci bene in questo caso non si può dire che il generato da $H$ e $K^g$ sia il prodotto di $H$ e $K^g$, dato che quest'ultimo può anche non essere un gruppo perché non ci sono ipotesi di normalità di nessuno dei due sottogruppi... uffa, ancora una volta mi son perso in un bicchiere d'acqua!
Ti chiedo un'altra cosa, stavolta sui gruppi $\pi$-separabili. Robinson dice che per vedere che un gruppo finito risolubile è $\pi$-separabile per ogni $\pi$ basta raffinare la serie derivata inserendo la $\pi$-componente di ogni fattore... mi spiegheresti cosa può intendere con $\pi$-componente e come funziona questo procedimento di raffinamento se puoi? Perché poi mi pare che usi questi procedimenti per dimostrare, a partire dalla $\pi$-separabilità di un gruppo finito, l'esistenza di una serie a fattori che sono alternatamente $\pi$'-gruppi e $\pi$-gruppi, cosa che non capisco se e come fa ad ottenere.
Grazie mille per la disponibilità.
Ti chiedo un'altra cosa, stavolta sui gruppi $\pi$-separabili. Robinson dice che per vedere che un gruppo finito risolubile è $\pi$-separabile per ogni $\pi$ basta raffinare la serie derivata inserendo la $\pi$-componente di ogni fattore... mi spiegheresti cosa può intendere con $\pi$-componente e come funziona questo procedimento di raffinamento se puoi? Perché poi mi pare che usi questi procedimenti per dimostrare, a partire dalla $\pi$-separabilità di un gruppo finito, l'esistenza di una serie a fattori che sono alternatamente $\pi$'-gruppi e $\pi$-gruppi, cosa che non capisco se e come fa ad ottenere.
Grazie mille per la disponibilità.
Non so cosa sia un gruppo [tex]\pi[/tex]-separabile, mi daresti la definizione?
Prova a guardare qui...
http://planetmath.org/encyclopedia/Seperable.html
Anche se la pagina da me si carica male mi sembra abbastanza comprensibile quello che è un gruppo $\pi$-separabile.
http://planetmath.org/encyclopedia/Seperable.html
Anche se la pagina da me si carica male mi sembra abbastanza comprensibile quello che è un gruppo $\pi$-separabile.
Ah ok, beh una serie di composizione di un gruppo risolubile consiste di gruppi ciclici di ordine primo (dovendo essere semplici e abeliani), e i gruppi ciclici di ordine primo sono in particolare p-gruppi. Questo direi che ti permette di capire che i gruppi risolubili sono [tex]\pi[/tex]-separabili per ogni insieme di primi [tex]\pi[/tex]. Se non ti e' subito chiaro prova a pensarci un po'.
Scusa il ritardo! Ci penserò e mi farò risentire, grazie dello spunto!
salve a tutti..
leggendo il file in pdf di @martino ho visto che,nella dimostrazione della prop.7,usi il fatto che un gruppo finito semplice e abeliano è ciclico. Poichè non sapevo questo fatto ti chiedo se cortesemente mi potresti enunciare altre prop. che caratterizzano un gruppo ciclico.
grazie mille e scusate per la domanda un pò banale!
leggendo il file in pdf di @martino ho visto che,nella dimostrazione della prop.7,usi il fatto che un gruppo finito semplice e abeliano è ciclico. Poichè non sapevo questo fatto ti chiedo se cortesemente mi potresti enunciare altre prop. che caratterizzano un gruppo ciclico.
grazie mille e scusate per la domanda un pò banale!
[xdom="Martino"]Per parlare di altri argomenti sei pregata di aprire un nuovo argomento, grazie. Attenzione in futuro.[/xdom]Detto questo, quello che mi pare più vicino a una risposta alla tua domanda è questo. Se hai altre osservazioni o domande apri un nuovo argomento, grazie.
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