Dimostrazione congruenza

[~Rose16]

Siano n,a,b $in$ Z. Si mostri che a$-=$b (mod n) se e solo se a$-=$b (mod -n).

Mio tentativo:

a$-=$b (mod n) significa che n|a-b e quindi esiste c incluso in Z tale che a=b+cn
a$-=$b (mod -n) significa che -n|a-b e quindi esiste c incluso in Z tale che a=b-cn

Proviamolo con un esempio numerico

227$-=$2(mod 15) 15|227-2 --> 227-2=15c --> 227=2+15c che sarebbe 227=2+15*15
227$-=$2(mod -15) -15|227-2 --> 227-2=-15c --> 227=2-15c che sarebbe 227=2-15(-15)

Per cui dato che ottengo sempre 227=227 dovrei aver provato che le due scritture sono equivalenti e che quindi posso restringermi al solo caso n>0... è corretto?

[Seneca1]

"~Rose":a$-=$b (mod n) significa che n|a-b e quindi esiste c incluso in Z tale che a=b+cn
a$-=$b (mod -n) significa che -n|a-b e quindi esiste c incluso in Z tale che a=b-cn

Provo a scriverlo un po' più chiaramente (non vedo la tua conclusione).

Supponiamo $a-=b ("mod" n)$ $hArr$ $EE c in ZZ$ tale che $cn = a - b$

$(-c)(-n) = a - b$

Chiamo $-c = k$.
$k in ZZ$ , allora $EE k in ZZ$ tale che $k(-n) = a - b$, cioè $a-=b ("mod" -n)$.

Vale la doppia implicazione. Chiaro?

[asdfghjkl2707]

non è che puoi dimostrare che qualcosa è vero in generale solo facendo un esempio, perchè potrebbe essere un caso che valga solo per particolari numeri.
Devi dimostrare la doppia implicazione (il "se e solo se"), cioè applicando le definizioni di congurenza e divisibilità che hai provare che la prima congruenza implica la seconda e la seconda implica la prima e quindi che sono equivalenti.
Per dimostrare che qualcosa è falso basta un controesempio (ad es. per dire che "Tutti i numeri naturali sono divisibili per 3" è falso, basta dire che esiste 2 per cui non vale) mentre per dimostrare che qualcosa è vero per un insieme di numeri o lo fai vedere direttamente per tutti i numeri (cosa quasi sempre impossibile perchè si tratta di insiemi infiniti, o irrealizzabile nella pratica perchè gli elemneti sono comunque troppi) oppure devi fare la dimostrazione. Con gli esempi non si dimostra niente.

[~Rose16]

Adesso mi è chiaro, grazie a entrambi! Solo un ultimo chiarimento

"Seneca":
$(-c)(-n) = a - b$

Qui posso cambiare i segni per meno per meno equivale a più per più giusto (detto in parole povere)? Purtroppo per me non sono cose ovvie e solo se le capisco mi rimangono in testa! Grazie, per il resto è tutto chiarissimo e ho capito che ho sbagliato a usare solo l'esempio!

[Seneca1]

"~Rose":Adesso mi è chiaro, grazie a entrambi! Solo un ultimo chiarimento
[quote="Seneca"]
$(-c)(-n) = a - b$

Qui posso cambiare i segni per meno per meno equivale a più per più giusto (detto in parole povere)? Purtroppo per me non sono cose ovvie e solo se le capisco mi rimangono in testa! Grazie, per il resto è tutto chiarissimo e ho capito che ho sbagliato a usare solo l'esempio![/quote]

Lavori con elementi di $ZZ$, vale la regola dei segni. La giustifichi una volta definita la moltiplicazione nell'insieme $ZZ$; dati $(alpha, beta)$ , $(gamma , delta)$ due numeri interi si pone:

$(alpha, beta ) *_(ZZ) (gamma, delta ) = ( alpha * gamma + beta * delta , alpha * delta + beta * gamma )$ (*)

Allora prendi $xi = (a,b)$ , $- xi = (b, a)$ e $eta = (c,d)$ , $- eta = (d, c)$

Vedrai che, se effettui il prodotto (*) trovi che : $xi *_(ZZ) eta = (- xi ) *_(ZZ) ( - eta )$

[~Rose16]

Perfetto, ora è tutto chiaro! Grazie a tutti per la pazienza!