Dimostrazione con potenze

[francescodd1]

Mostrare che 41 non puo essere espresso come differenza di una potenza
di 2 e di una potenza di 3, cioe che non puo sussistere nessuna delle due
uguaglianze seguenti:
41 = 2^n−3^m , 41 = 3^n−2^m

[maurer]

Naturalmente $n,m in NN$, giusto? Perché altrimenti $n=ln(41+3^m)/ln2$...

[Lord K]

Ma se rispettivamente $n=m=-41$ (per $41=2n-3m$) ed $n=m=41$ (per $41=3n-2m$)allora le due uguaglianze funzionano...

[francescodd1]

scusate n e m interi positivi

[maurer]

Bé, francescodd ha parlato di potenze... quindi credo che quelle disuguaglianze stessero a significare $41=2^n-3^m$ e $41=3^n-2^m$... altrimenti si tratta di una semplice equazione lineare... andrebbero anche bene i valori $n=22$ e $m=1$ per la prima, ad esempio... e tutte le soluzioni sarebbero individuate da $3m=1 (mod 2)$. In effetti questa congruenza individua anche la soluzione proposta da Lord K $n=m=-41$!

[Lord K]

Osserviamo che:

$41=2^5+3^2$

ho quindi che se fosse vero il primo asserto ($41=2^n-3^m$)

$2^5+3^2=2^(n_0)-3^(m_0)$
$2^5*(2^(n_0-5)-1)=3^2*(3^(m_0-2)+1)$

Siccome $gcd(2^(n_0);3^(m_0))=1$ ho che:

${(3^(m_0-2)+1-=0 (mod 2^5)),(2^(n_0-5)-1 -= 0 (mod 3^2)):}

ovvero:

${(3^(m_0-2)-=-1 (mod 2^5)),(2^(n_0-5) -= 1 (mod 3^2)):}

Denominiamo $ {(M=m_0-2),(N=n_0-5):}$ ed osserviamo la prima congruenza:

$3^M-=-1 (mod 2^5)$

Se $M>phi(32)$ allora abbiamo che $M=phi(32)*q+r$ e per il teorema (piccolo) di Fermat abbiamo che se $gcd(a,m)=1$:

$a^(phi(m))=1 (mod m)$

che nel nostro caso si riduce a:

$3^(phi(32))=1 (mod m)$

e quindi:

$3^r -=-1 (mod 32)$

con $r<16=phi(32)$.

Provando con i valori da 1 a 16 si nota che i residui sono sempre ${3,9,27,17,19,25,11,1}$ quindi la equazione proposta non ha soluzione.

La mia è una risposta d'acchito e quindi è il caso di controllarla!