Dimostrazione che un campo è privo di divisori dello 0.

[AndreaT1989]

Salve, come da titolo non riesco a dimostrare che un campo è privo di divisori dello 0. Mi manca il punto da cui partire, mi date una mano ? Grazie mille.

[mistake89]

Un'idea che mi è venuta in mente: se siamo in un anello $A//(m)$ gli elementi invertibili sono quelli che hanno $MCD(x,m)=1$ mentre i divisori dello zero hanno $MCD(x,m) ne 1$.
Considera inoltre che la definizione di campo è che ogni elemento non nullo è invertibile...

EDIT: me n'è venuta una ancora più semplice.
Supponi per assurdo che $ab=0$ con $a,b$ entrambi non nulli. Allora questi sono invertibili per definizione di campo...
concludi tu!

[Lorin1]

Non so forse sbaglio, ma non c'è niente da dimostrare secondo me, in quanto:

Se A è un campo allora A è un anello commutativo unitario, cioè un dominio di integrità => A è privo di divisori dello zero.

[mistake89]

"Lorin": A è un anello commutativo unitario, cioè un dominio di integrità => A è privo di divisori dello zero.

Il fatto che sia un anello commutativo unitario non implica che sia un dominio di integrità, prendi $ZZ_6$. E' un anello commutativo unitario ma non è un dominio ovviamente.
Forse ho capito male, ma per nuovo utente magari è meglio precisare

Forse è proprio questo che bisogna dimostrare.

[Lorin1]

Giusto, sorry...^^

[klarence1]

"Lorin":Non so forse sbaglio, ma non c'è niente da dimostrare secondo me, in quanto:

Se A è un campo allora A è un anello commutativo unitario, cioè un dominio di integrità => A è privo di divisori dello zero.

E' sbagliato dire che se A è anello c.u. è un dominio di integrità, ma se A è un campo in particolare A è un dominio di integrità, pertanto se $ab=0$ allora $a=0$ o $b=0$ e quindi non esistono divisori dello zero.
C'era solo una implicazione di troppo.

[Lorin1]

Si in sostanza era quello che volevo dire io.

[Studente Anonimo]

"klarence":se A è un campo in particolare A è un dominio di integrità

Non per essere pedante, ma questo è esattamente quello che si deve dimostrare.

[klarence1]

"Martino":[quote="klarence"]se A è un campo in particolare A è un dominio di integrità

Non per essere pedante, ma questo è esattamente quello che si deve dimostrare.[/quote]

Ma quello dovrebbe seguire subito dal fatto che in A ogni elemento diverso da 0 è invertibile...

Edit: hai ragione, alla fine è quello che bisogna dimostrare altrimenti è come se dicessi che vale direttamente la tesi senza dire nulla.

[Paolo902]

In un campo $K$, siano $x$ e $y$ due elementi tali che $xy=0$. Evidentemente può essere o $x=0$ o $x!=0$. Se $x=0$ allora abbiamo finito. Se invece $x!=0$, visto che siamo in un campo, esiste $x^-1$: moltiplicando ambo i membri per $x^-1$ ottengo $x^-1xy=x^-1*0$ cioè $y=0$.

Quindi, ogni campo è un dominio.
[tex]\square[/tex]

P.S. Remark. L'implicazione si inverte sul finito.

P.P.S. Come mi manca l'algebra!

[mistake89]

Esattamente Paolo era la dimostrazione a cui pensavo io. Gli ho messo l'assurdo ma alla fine era esattamente la stessa cosa

[AndreaT1989]

Scusate se rispondo ora, non ho potuto farlo prima. Comunque grazie mille a tutti per le risposte.