Dimostrazione che non capisco...

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"Martino":Ti suggerisco di includere sempre la fonte e un contesto (libro di testo o simili) perché la quantità di notazione non spiegata è veramente scoraggiante.

Hai ragione!! Fonte: le note del corso del professore
Spero di non aver dimenticato nulla:
Notazione:

- \( K \) è campo di numeri, i.e. \( K/\mathbb{Q} \) un estensione di grado finita
- \( \mathcal{O}_K \) è l'anello degli interi di \(K\), i.e l'integral closure (chisura intera?) di \( \mathbb{Z} \) in \( K \).
- \( \operatorname{Cl}(\mathcal{O}_K) \) è l'ideal class group di \( \mathcal{O}_K \), (non ho idea di come si dica in italiano).
- \( h(\mathcal{O}_K) \) è l'ordine di \( \operatorname{Cl}(\mathcal{O}_K) \)
- \( \operatorname{disc}(\mathcal{O}_K) \) è il discrimante di \( \mathcal{O}_K \)
- \( (r_1,r_2) \) è la signature di \(K\), i.e. \( r_1\) è il numero delle immersioni reali e \(2r_2 \) è il numero delle immersioni complesse, \(n=r_1+2r_2 \)
- \( r := r_1 + r_2 \)
- \( K_{\infty} := \mathbb{R}^{r_1 } \times \mathbb{C}^{r_2} \cong \mathbb{R}^n \)
- \( \sigma_{\infty} \) è l'immersione archimedea, se \( \{ \sigma_1,\ldots,\sigma_{r_1} \} \) sono le immersioni reali e \( \{ \sigma_{r_1+1},\ldots,\sigma_{r_1+r_2} \} \) sono una scelta di immersioni complese tale che nessuna è la cognugata dell'altra allora
\[ \sigma_{\infty} : K \to K_{\infty} \]
\[ z \mapsto \sigma_{\infty}(z):=(\sigma_1(z), \ldots,\sigma_{r_1},\sigma_{r_1+1}(z),\ldots ,\sigma_{r_1+r_2}(z) ) \]
- Se \( \Lambda \) è un lattice allora \( \operatorname{vol}(\Lambda) \) è il covolume, i.e. il volume del parallelotopo che genera il lattice.
- Se \( \Omega \) è un insieme misurabile (secondo Lebesgue) allora \( \operatorname{vol}(\Omega) \) è il volume
- Se \( A \) è un anello/campo allora \(A^{\times} \) è l'insieme delle sue unità, i.e. per le quali esiste \(a^{-1} \) tale che \(a \cdot a^{-1} = 1_A \).
- Il gruppo abeliano \( \mathcal{O}_K^{\times} \) è di tipo finito e rango \(r-1\). E il suo torsion subgroup
\[ \mathcal{O}_{K,tors}^{\times} = \mu_K = \{ z \in K, \exists k \geq 1, z^k = 1 \} \]
Quindi
\[ \mathcal{O}_K^{\times} \cong \mu_K \times \mathbb{Z}^{r-1} \]
e abbiamo che \( w_K := \left| \mu_K \right| \).
- L'mmersione logaritmica è definita così:
\[ \operatorname{Log} : K_{\infty}^{\times} \to \mathbb{R}^r \]
\[ (z_1,\ldots,z_r ) \mapsto ( \log \left| z_1 \right|, \ldots , \log \left| z_{r_1} \right|, 2\log \left| z_{r_1+1} \right|, \ldots, 2 \log \left| z_{r_1+r_2} \right|) \]
Mentre l'immersione logaritmica di \( K^{\times} \) è definita come
\[ \operatorname{Log}_{\infty} : K^{\times} \to \mathbb{R}^r \]
\[ \operatorname{Log}_{\infty} := \operatorname{Log} \circ \sigma_{\infty} \]
- \( \operatorname{reg}(\mathcal{O}_K ) \) è il regulator di \( \mathcal{O}_K \).
- \( N \) indica la norma (adatta al contesto), ovvero \( N(\mathfrak{a}) \) quando \( \mathfrak{a} \) è un ideale di \( \mathcal{O}_K \) allora \( N(\mathfrak{a}) = \left| \mathcal{O}_K/ \mathfrak{a} \right| \), quando \(a \in \mathfrak{a} \) allora \( N(a)=N(a \mathcal{O}_K) \). L'altra norma è definita nella dimostrazione e prende \(z \in K_{\infty}^{\times} \) ed è sempre denotata con \(N\).
- Se non ho dimenticato qualcosa, le altre notazioni sono definite nella dimostrazione

Mi aiutereste a capire questa dimostrazione? Allora, mi rendo conto che è bella lunga... quindi presumo che nessuno avrà la voglia di leggersela
Ma tentar non nuoce...! Siccome è molto lunga splitto la dimostrazione in parti che metto in spolier, così è più chiaro cosa non capisco.

Sia \(K/\mathbb{Q} \) un estensione finita di grado \(n\). Quando \( X \to \infty \) abbiamo che
\[ \sum_{m \leq X} r_K(m) = \sum_{ \substack{ \mathfrak{a} \subset \mathcal{O}_K \\ N(\mathfrak{a}) \leq X } } 1 = \frac{2^{r_1 } (2 \pi )^{r_2} h( \mathcal{O}_K) \operatorname{reg} ( \mathcal{O}_K) }{w_k \left| \operatorname{disc}(\mathcal{O}_K) \right|^{1/2} } + O_K(X^{1-1/n}) \]

dove
\[ r_K(m) = \left| \{ \mathfrak{a} \subset \mathcal{O}_K , N(\mathfrak{a})=m \} \right| \]

Dimostrazione:
- Qui dovrei aver capito tutto, penso...

Iniziamo a splittare la somma lungo le varie classi degli ideali
\[ \left| \{ \mathfrak{a} \subset \mathcal{O}_K , N(\mathfrak{a}) \leq X \} \right| = \sum_{ [\mathfrak{a}] \in \operatorname{Cl}(\mathcal{O}_K)} \left| \{ \mathfrak{a}' \subset \mathcal{O}_K , N(\mathfrak{a}') \leq X, \mathfrak{a}' \in [\mathfrak{a}^{-1}] \} \right| \]
Ora valuteremo ciascun termine separatamente usando il fatto che \( a \in \mathfrak{a} - \{0\} \mapsto \mathfrak{a}' := a \mathfrak{a}^{-1} \) induce una biezione tra i due seguenti insiemi
\[ \{ a \in \mathfrak{a} - \{0\} , N(a) \leq X N(\mathfrak{a}) \} / \mathcal{O}_K^{\times} \]
e
\[ \{ \mathfrak{a}' \in [ \mathfrak{a}^{-1} ] , \mathfrak{a}' \subset \mathcal{O}_K, N(\mathfrak{a}') \leq X \} \]
Iniziamo con una semplice osservazione: definiamo una norma su \( K_{\infty}^{\times} \) come morfismo continuo
\[ N : z = (x_1,\ldots,x_{r_1}, z_{z_1+1} , \ldots, z_{r_1+z_2} ) \in K_{\infty}^{\times} \mapsto \prod_{i} \left| x_i \right| \prod_{j} \left| z_j \right|^2 \in \mathbb{R}_{>0} \]
Questa funzione è omogenea di grado \(n\): per ogni \(x \in \mathbb{R}_{>0} \) abbiamo che
\[ N(x z) = x^{n} N(z) \]
Dato \(x > 0 \) denotiamo per \( K_{\infty,x}^{\times} \) il \(x\)-livello set
\[ K_{\infty,x}^{\times} = \{ z \in K_{\infty}^{\times} , N(z) = x \} \]
e per
\[ K_{\infty, \leq x}^{\times} = \{ z \in K_{\infty}^{\times} , N(z) \leq x \} \]
Per omogeneità della norma abbiamo che
\[ K_{\infty,x}^{\times} = x^{1/n} K_{\infty,1}^{\times} \]
\[ K_{\infty,\leq x}^{\times} = x^{1/n} K_{\infty, \leq 1}^{\times} \]
osserviamo che la funzione \(N\) è invariante sotto moltiplicazione per \( \sigma_{\infty}( \mathcal{O}_K^{\times} ) \):
\[ \forall z \in K_{\infty}^{\infty} , u \in \mathcal{O}_K^{\times}, N( \sigma_{\infty}(u)z) = N(\sigma_{\infty}(u)) N(z) = N(z) \]
quindi \( \mathcal{O}_K^{\times} \) agisce su \( K_{\infty,x}^{\times} \) tramite moltiplicazione per \( \sigma_{\infty} \) e su \( K_{\infty, \leq x}^{\times} \). Inoltre per comprendere questa azione è sufficiente comprenderla su \( K_{\infty,1}^{\times} \) e \( K_{\infty,\leq 1}^{\times} \).

Qui di seguito non capisco:
- Perché vogliamo contare i punti \( a \in \sigma_{\infty}(\mathfrak{a}) \) che soddisfano (1) e perché passa al quoziente, quindi contare \( \sigma_{\infty} (a) \in \sigma_{\infty} ( \mathfrak{a} ) \) contenuti nel dominio che fondamentale del quoziente ??
- Non capisco come mai \( \mathcal{P}_U \) è il parallelepipedo fondamentale.
- Non capisco come faccia a dire che \( \mathcal{F}_1 \) sia il dominio fondamentale di \( K_{\infty,1}^{\times}/U \).
- Non capisco come mai \( \mathcal{F}_{\leq X} \) è il dominio fondamentale del quoziente \( K_{\infty, \leq X}^{\times}/U \) ne perché è precompatto e ha bordo lipschitz.
- Inoltre mi dice che per il principio di Lipschitz, i.e. dato \( \Lambda \) un lattice e \( \Omega \) un compatto con bordo Lipschitz, abbiamo quando \(t \infty \infty \)
\[ N_{\Omega}(t, \Lambda) := \left| \{ \lambda \in \Lambda, \lambda \in t \cdot \Omega\} \right| = \frac{\operatorname{vol}(\Omega)}{\operatorname{vol}(\Lambda)} t^n + O_{\Lambda,\Omega}(t^{n-1} ) \]
ma non capisco come possa essere che
\[ \left| \sigma_{\infty} (\mathfrak{a}) \cap \mathcal{F}_{\leq X} \right| \]
e
\[ \left| \mathfrak{a} \cap \mathcal{F}_{\leq X N(\mathfrak{a})} \right| \]
siano i due lattici di cui vogliamo contare i punti. Inoltre come fa a dire che
\[ \operatorname{vol}( \sigma_{\infty}(\mathfrak{a}) ) = \frac{N(\mathfrak{a}) \left| \operatorname{disc}(\mathcal{O}_K) \right|^{1/2}}{2^{r_2}} \]

Possiamo ritornare alla dimostrazione del teorema. Dato un lattice \( \sigma_{\infty}(\mathfrak{a}) \subset K_{\infty} \) vogliamo valutare il numero dei ( \( \mathcal{O}_K^{\times}\)-orbite di) non zero punti \(a \in \sigma_{\infty}(\mathfrak{a}) \) tale che
\[ N( \sigma_{\infty}(a)) \leq X N(\mathfrak{a} ) \ \ \ \ \ \ (1) \]
Per riuscire a contare questo numero dobbiamo esibire un "bel" dominio fondamentale precompatto.
\[ \mathcal{F}_{\leq X N(\mathfrak{a})} \subset K_{\infty, \leq X N(\mathfrak{a}) }^{\times} \]
che rappresenti il quoziente \( K_{\infty, \leq X N(\mathfrak{a}) }^{\times}/\mathcal{O}_K^{\times} \) e quindi contare il numero di punti \( \sigma_{\infty} (a) \in \sigma_{\infty} ( \mathfrak{a} ) \) contenuti in \( \mathcal{F}_{\leq X N(\mathfrak{a})} \).
Dal teorema di Dirichlet abbiamo che
\[ \mathcal{O}_K^{\times} = \mu_K \times U \]
dove
\[ U = \prod_{i=1}^{r-1} \varepsilon_{i}^{\mathbb{Z} } \]
è un gruppo abeliano libero di rango \(r-1\). Ovviamente abbiamo che
\[ \left| \{ a \in \mathfrak{a} - \{0\} , N(a) \leq X N(\mathfrak{a}) \}/\mathcal{O}_K^{\times} \right| = \frac{1}{w_K} \left| \{ a \in \mathfrak{a} - \{0\} , N(a) \leq X N(\mathfrak{a}) \}/U \right| \]
quindi è sufficiente valutare \( \left| \{ a \in \mathfrak{a} - \{0\} , N(a) \leq X N(\mathfrak{a}) \}/U \right| \).

Sia \( \mathcal{F} \subset K_{\infty}^{\times} \) il dominio fondamentale del quoziente \(K_{\infty}^{\times}/U \) allora
\[ \mathcal{F}_{\leq X } = \{ z \in \mathcal{F}, N(z) \leq X \} = \mathcal{F} \cap K_{\infty, X}^{\times} \]
è un dominio fondamentale del quoziente \(K_{\infty}^{\times}/U \). Esibiremo quindi un dominio che è precompatto e il cui bordo è Lipschitz. Ricordiamo che \( \operatorname{Log}_{\infty}(U) \) è il lattice nell'iperpiano
\[ H(\mathbb{R})= \{ (\ell_1,\ldots,\ell_{r}) \in \mathbb{R}^{r} , T(\ell_1,\ldots,\ell_r ) = \ell_1 + \ldots + \ell_r = 0 \} \]
Sia
\[ \mathcal{P}_U = \sum_{i=1}^{r-1} [0,1[ \operatorname{Log}(\varepsilon_i) \subset H(\mathbb{R}) \]
essere il parallelepipedo fondamentale associato ( un dominio fondamentale per l'azione di \( \operatorname{Log}_{\infty} ( U) \) su \( H(\mathbb{R}) \) ). La preimmagine \( \mathcal{F}_1 = \operatorname{Log}^{-1} ( \mathcal{P}_U) \) è il dominio fondamentale che rappresenta il quoziente \( K_{\infty,1}^{\times}/U \) e per omogeneita il cono
\[ \mathcal{F}_{\leq X} := ]0,X^{1/n}] \mathcal{F}_1 = \{ tz, t \in]0,X^{1/n}], z \in K_{\infty}^{\times}, \operatorname{Log}(z) \in \mathcal{P}_U \} = X^{1/n} \mathcal{F}_{\leq 1} \]
è il dominio fondamentale per \( K_{\infty, \leq X}^{\times} / U \). Questo dominio è precompatto e ha pordo Lipschitz (perché le facce \(r-2\)-dimensionali del parallelepipedo \( \mathcal{P}_U \) sono Lipschitz e limitate e l'esponenziale è liscio: smooth in inlgese). Per il principio di Lipschitz e il suo corollario abbiamo che quando \(X \to \infty \)
\[ \left| \sigma_{\infty}(\mathfrak{a}) \cap \mathcal{F}_{\leq X} \right| = \frac{\operatorname{vol}( \mathcal{F}_{\leq 1} )}{\operatorname{vol}(\sigma_{\infty}(\mathfrak{a}) )} X + O_{\mathfrak{a}}(X^{1-1/n} ) = \frac{2^{r_2} \operatorname{vol} ( \mathcal{F}_{\leq 1} )}{\left| \operatorname{disc}(\mathcal{O}_K) \right|^{1/2} N(\mathfrak{a})} X + O_{\mathfrak{a}}(X^{1-1/n}) \]
quindi
\[ \left| \mathfrak{a} \cap \mathcal{F}_{\leq X N(\mathfrak{a}) } \right| = \frac{2^{r_2} \operatorname{vol}(\mathcal{F}_{\leq 1} )}{\left| \operatorname{disc}(\mathcal{O}_K) \right|^{1/2}} X + O_{\mathfrak{a}}(X^{1-1/n}) \]
pertanto dalla finitezza del class group otteniamo la formula asintotica
\[ \left| \{ \mathfrak{a} \subset \mathcal{O}_K, N(\mathfrak{a}) \leq X \} \right| = \frac{2^{r_2} \operatorname{vol}(\mathcal{F}_{\leq 1} )h(\mathcal{O}_K)}{w_K\left| \operatorname{disc}(\mathcal{O}_K) \right|^{1/2}} X + O_{K}(X^{1-1/n}) \]

Per quanto riguarda l'ultima parte:
- Non capisco come mai prendere l'integrale sul dominio \[ \operatorname{Log}( \left| z \right|/N( \left| z \right|)^{1/n} ) \in \mathcal{P}_{U} , N(\left| z \right|) \leq 1 \]
ne da dove salta fuori il \(2^{r_1} \) che moltiplica l'integrale.
- Non capisco proprio come faccia a dire che
\[ \operatorname{vol}(\mathcal{P}_U) \int_{-\infty}^{0} e^{-t} dt = 2^{-r_2} \operatorname{reg}(\mathcal{O}_K) \]

Rimane a calcolare \( \operatorname{vol}(\mathcal{F}_{\leq 1} ) \): è utile scrivere un elemento \( z \in K_{\infty}^{\times} \) in "coordinate polari":
\[ z = ( \pm x_1 ,\ldots, \pm x_{r_1} , \rho_1e(i \theta_1) , \ldots, \rho_{r_2} e(i \theta_{r_2}) ) \]
per \( x_i,\rho_j \in \mathbb{R}_{>0} \) e \( \theta_j \in [0,2\pi[ \). Sia
\[ \left| z \right| = (x_1,\ldots,x_{r_1}, \rho_1, \ldots, \rho_{r_2} ) \]
allora
\[ N(z) = \prod_{i} x_i \prod_{j} \rho_j^2 \]
pertanto il volume
\[ \operatorname{vol}(\mathcal{F}_{\leq 1}) = 2^{r_1}(2\pi)^{r_2} \int_{\ast} \rho_1 \ldots \rho_{r_2} dx_1 \ldots dx_{r_1} d\rho_1 \ldots d \rho_{r_2} \]
dove l'integrale è calcolato sul dominio definito da
\[ \operatorname{Log}( \left| z \right|/N( \left| z \right|)^{1/n} ) \in \mathcal{P}_{U} , N(\left| z \right|) \leq 1 \]
facendo un cambiamento di variabile
\[ \left| z \right| \mapsto \ell = (\ell_1 ,\ldots, \ell_r) = \operatorname{Log}(\left| z \right|) \]
o in altri termini
\[ \ell_i = \log x_i , i \leq r_1, \ell_{r_1 + j } = 2 \log \rho_j, j \leq r_2 \]
abbiamo che
\[ dx_i = e^{\ell_1} d \ell_i, , i \leq r_1, \rho_j d\rho_j = \frac{1}{2}e^{\ell_{r_1+j}} d \ell_{r_1+j}, j \leq r_2\]
quindi
\[ 2^{-r_2} \int e^{T(\ell)} d\ell\]
dove \( T(\ell) = \sum_{i} \ell_i \leq 0, P_H(\ell ) \in \mathcal{P}_U \) e dove
\[ P_H(\ell) = \ell - T(\ell)/n (1,\ldots,1,2,\ldots,2) \]
è la proiezione di \( \ell \) sul iperpiano \(H(\mathbb{R}) = \ker ( T ) \). Otteniamo allora
\[ 2^{-r_2} \int e^{T(\ell)}d\ell = \operatorname{vol}(\mathcal{P}_U) \int_{-\infty}^{0} e^{-t} dt = 2^{-r_2} \operatorname{reg}(\mathcal{O}_K) \]
e quindi otteniamo il risultato desiderato.

[e3353cdc139f9576d1418ef5ef3cff2aac614a86]

Ti suggerisco di includere sempre la fonte e un contesto (libro di testo o simili) perché la quantità di notazione non spiegata è veramente scoraggiante.

[84f45e194ee50365c2aa8ead271e4a9d9bb017bb]

Ho modificato l'inizio del messaggio con la notazione precedente alla dimostrazione che non è stata spiegata.

[j18eos]

Un po' di italiano, ma giusto un po'!

Integral closure si traduce con chiusura integrale.
Ideal class group si dovrebbe tradurre come gruppo delle classi ideali[nota]...e per caso, dalla geometria algebrica, conosci i divisori di Cartier?[/nota].

"3m0o":[...]e \( \{ \sigma_{r_1+1},\ldots,\sigma_{r_1+r_2} \} \) sono una scelta di immersioni complese tale che nessuna è la cognugata dell'altra[...]

No Comment!
Lattice si traduce con reticolo.
Torsion subgroup si traduce con sottogruppo di torsione.

"3m0o":[...]splitto la dimostrazione in parti[...]

Spezzo no?

Poi una domanda: parli di morfismi continui, ma quali sono le topologie in gioco? Quelle naturali indotte dalle immersioni di cui sopra?

[axpgn]

Vabbè, non è italiano, fa scuola in inglese in una scuola francese e probabilmente capisce anche il tedesco, qualche imprecisione in italiano gliela vogliamo concedere? Dai

Cordialmente, Alex

[84f45e194ee50365c2aa8ead271e4a9d9bb017bb]

j18eos senti: ho tradotto una dimostrazione che non capisco, non ho idea di quale topologia entra in gioco, perché non l'ho dimostrato io, non è specificato nella dimostrazione, non è specificato prima e nemmeno dopo. In effetti è una parte che non ho capito troppo, ma mi sembrava poco rilevante per la dimostrazione siccome non la usava da nessuna parte questa continuità del morfismo! Quindi prima mi sarebbe piaciuto capire le cose importanti per la dimostrazione del teorema.

Detto questo scusami se seguo il corso in inglese, e non so la traduzione in italiano di ogni cosa ma non le ho mai sentite in italiano alcune cose! Va bene oppure è un problema? Non posso inventarmi il termine di una cosa in una lingua che non so, ti pare? Ho cercato su google prima di scrivere il thread come si dicono queste cose, ma non le ho trovate e già ci ho messo un ora abbondante per scrivere il thread non avevo troppa voglia di fare una grande ricerca sulla traduzione di un termine se permetti!
E se non le trovo scritte o se non le leggo da qualche parte non posso avere idea di come si dicono, per cui - per non dire delle cose sbagliate - le lascio nella lingua in cui le ho imparate, va bene?
Se sai aiutarmi rispondendo alle mie domande di matematica, lo apprezzo molto, se non sai aiutarmi o se non vuoi aiutarmi, va bene uguale!
Se invece semplicemente mi vuoi informare di come alcune cose si dicono in italiano anche lo apprezzo, ma in tal caso ti chiederei un po' più di rispetto perché mi è sembrato solo un messaggio per rompere le scatole (per non dire altro...), e ti dirò l'ho trovato molto antipatico!

ps: ti sono mai capitati degli errori di battitura?

[j18eos]

...a parte che per me l'italiano è una lingua straniera!, e con l'inglese va pure peggio...

La mia intenzione era quella di fornirti la traduzione di alcuni termini, perché mi era parso che tu fossi curioso di conoscerle; capisco che sarei potuto apparire antipatico, per questo sono stato, per quanto possibile, scarno nello scrivere onde evitare fraintendimenti.

Scritto ciò: la dimostrazione l'ho trovata piena di tecniche diverse (misura di Lebesgue, campi ordinati, teoria dei gruppi); e ho posto una domanda che reputavo utile a chiarire ulteriormente la medesima.

Questo è quanto!

[84f45e194ee50365c2aa8ead271e4a9d9bb017bb]

Beh allora devo aver frainteso il tuo messaggio, sorry!

ps: so che si dice scusa

[j18eos]

Quello che si dovrebbe scusare (in 7 lingue diverse) sono io e non tu!

...e dato che \(\displaystyle\mathcal{O}_K^{\times}\) agisce su (ogni) \(\displaystyle K^{\times}_{\infty,x}\): nel conteggio non bisognerebbe tenere conto di questa azione?

[84f45e194ee50365c2aa8ead271e4a9d9bb017bb]

"j18eos":Poi una domanda: parli di morfismi continui, ma quali sono le topologie in gioco? Quelle naturali indotte dalle immersioni di cui sopra?

Comunque penso che siccome \( K_{\infty} \cong \mathbb{R}^n \) presumo che la topologia sia quella standard su \( \mathbb{R}^n \) "passata" nell'isomorfismo. Ma è una mia deduzione, non lo so.

"j18eos":
...e dato che \( \displaystyle\mathcal{O}_K^{\times} \) agisce su (ogni) \( \displaystyle K^{\times}_{\infty,x} \): nel conteggio non bisognerebbe tenere conto di questa azione?

Credo lo faccia. Anche se è la parte che ho capito poco.

Da quel che ho capito noi vogliamo contare gli ideali in \( \mathcal{O}_K \) con norma (norma degli ideali) inferiore ad un certo valore fissato \(X\).
In qualche modo che non capisco, per farlo, mi dice che vogliamo contare il numero di punti nel reticolo \( \sigma_{\infty}(\mathfrak{a}) \), che è un reticolo di \(K_{\infty}^{\times} \), che hanno norma (di \(K_{\infty}^{\times} \) ) inferiore a \(X N(\mathfrak{a} ) \).


Questo lo fa passando al quoziente \( K_{\infty}^{\times}/\mathcal{O}_K^{\times} \) siccome la norma su \(K_{\infty}^{\times} \) è invariante sotto l'azione di moltiplicazione per \( \sigma_{\infty}(u) \) dove \( u \in \mathcal{O}_K^{\times} \), quindi contare il numero di quei punti equivale a contare il numero di punti che soddisfano quanto sopra dentro ciascuna orbita e poi moltiplicare il tutto per il numero di orbite.

Questo è equivalente a calcolare il numero di punti in una data orbita di \( K_{\infty, \leq X N(\mathfrak{a})}^{\times}/\mathcal{O}_K^{\times} \) e poi moltiplicare tutto per il numero di orbite, perché ci stiamo già riducendo ai punti con una norma inferiore a quella che vogliamo noi.

E siccome dice che \( \mathcal{O}_K^{\times} = \mu_K \times U \), con \(U\) dato nella parte due della dimostrazione, un gruppo abeliano libero di rango \(r-1\), dice che
\[ \left| \{ a \in \mathfrak{a} - \{0\} , N(a) \leq XN(\mathfrak{a})\}/\mathcal{O}_K^{\times} \right| = \# \{ \text{ il numero di punti in una data orbita di } K_{\infty,\leq XN(\mathfrak{a})}^{\infty} \text{ per il numero di orbite} \} \]
e questo mi dice che è uguale a
\[ \frac{1}{w_K} \left| \{ a \in \mathfrak{a} - \{0\} , N(a) \leq XN(\mathfrak{a})\}/U \right| \]
quindi sospetto che sia il fattore \( \frac{1}{w_K} \) che tiene conto del numero delle orbite, perché \( \left| \mu_{K} \right| = w_K \).
In tal caso non dovrebbe essere quindi moltiplicato per \( w_K \) e non per \( \frac{1}{w_K} \), a meno che io non abbia invertito i ruoli dei due insiemi (sono abbastanza sicuro che sia giusto così com'è quindi sto sbagliando io qualcosa nel ragionamento).

Ovvero
\[ \left| \{ a \in \mathfrak{a} - \{0\} , N(a) \leq XN(\mathfrak{a})\}/\mathcal{O}_K^{\times} \right| = \# \{ \text{ il numero di punti in una data orbita di } K_{\infty,\leq XN(\mathfrak{a})}^{\infty} \} \]
e quindi
\[ w_K \cdot \left| \{ a \in \mathfrak{a} - \{0\} , N(a) \leq XN(\mathfrak{a})\}/\mathcal{O}_K^{\times} \right| = \# \{ \text{numero delle orbite per il numero di punti in una data orbita di } K_{\infty,\leq XN(\mathfrak{a})}^{\infty} \} \]

[84f45e194ee50365c2aa8ead271e4a9d9bb017bb]

"3m0o":
[...]
quindi
\[ \left| \mathfrak{a} \cap \mathcal{F}_{\leq X N(\mathfrak{a}) } \right| = \frac{2^{r_2} \operatorname{vol}(\mathcal{F}_{\leq 1} )}{\left| \operatorname{disc}(\mathcal{O}_K) \right|^{1/2}} X + O_{\mathfrak{a}}(X^{1-1/n}) \]
pertanto dalla finitezza del class group otteniamo la formula asintotica
\[ \left| \{ \mathfrak{a} \subset \mathcal{O}_K, N(\mathfrak{a}) \leq X \} \right| = \frac{2^{r_2} \operatorname{vol}(\mathcal{F}_{\leq 1} )h(\mathcal{O}_K)}{w_K\left| \operatorname{disc}(\mathcal{O}_K) \right|^{1/2}} X + O_{K}(X^{1-1/n}) \]

Secondo me c'è un typo nella dimostrazione perché da quel che capisco \( \left| \mathfrak{a} \cap \mathcal{F}_{\leq X N(\mathfrak{a}) } \right| \) mi conta il numero di punti in una data orbita che ha norma inferiore a \( X N(\mathfrak{a}) \) quando dovrebbe essere secondo me
\[ \left| \sigma_{\infty}(\mathfrak{a}) \cap \mathcal{F}_{\leq X N(\mathfrak{a}) } \right| \]
e poi mi dice che il numero di ideali (asintoticamente) è
\[ \left| \{ \mathfrak{a} \subset \mathcal{O}_K, N(\mathfrak{a}) \leq X \} \right| = \frac{h(\mathcal{O}_K)}{w_K} \cdot \left| \mathfrak{a} \cap \mathcal{F}_{\leq X N(\mathfrak{a}) } \right| \]
quindi è come se mi dicesse che il numero di numero di orbite è dato da \( \frac{h(\mathcal{O}_K)}{w_K} \).

Anche se non capisco come contare appunto il numero di punti in \(a \in \sigma_{\infty}(\mathfrak{a}) \) tale che
\[ N(\sigma_{\infty}(a)) \leq X N(\mathfrak{a}) \]
che direi essere dato da:
\[ \left| \mathfrak{a} \cap \mathcal{F}_{\leq X N(\mathfrak{a}) } \right| \]
o supponendo esserci un typo, dato da:
\[ \left| \sigma_{\infty}(\mathfrak{a}) \cap \mathcal{F}_{\leq X N(\mathfrak{a}) } \right| \]
mi possa dare un informazione (moltiplicando per il fattore \(\frac{h(\mathcal{O}_K)}{w_K} \) ) sul numero di ideali in \( \mathcal{O}_K \) che hanno norma inferiore a \(X\)... questo mi è totalmente oscuro.

[84f45e194ee50365c2aa8ead271e4a9d9bb017bb]

"3m0o":

Ora valuteremo ciascun termine separatamente usando il fatto che \( a \in \mathfrak{a} - \{0\} \mapsto \mathfrak{a}' := a \mathfrak{a}^{-1} \) induce una biezione tra i due seguenti insiemi
\[ \{ a \in \mathfrak{a} - \{0\} , N(a) \leq X N(\mathfrak{a}) \} / \mathcal{O}_K^{\times} \]
e
\[ \{ \mathfrak{a}' \in [ \mathfrak{a}^{-1} ] , \mathfrak{a}' \subset \mathcal{O}_K, N(\mathfrak{a}') \leq X \} \]
Iniziamo con una semplice osservazione: definiamo una norma su \( K_{\infty}^{\times} \) come morfismo continuo
\[ N : z = (x_1,\ldots,x_{r_1}, z_{z_1+1} , \ldots, z_{r_1+z_2} ) \in K_{\infty}^{\times} \mapsto \prod_{i} \left| x_i \right| \prod_{j} \left| z_j \right|^2 \in \mathbb{R}_{>0} \]
Questa funzione è omogenea di grado \(n\): per ogni \(x \in \mathbb{R}_{>0} \) abbiamo che

A meno che quando non dice che conta i punti \( a \in \sigma_{\infty}(\mathfrak{a}) \) tale che
\[ N(a) \leq X N(\mathfrak{a}) \]
non intende che prende la norma sugli ideali e non quella su \(K_{\infty}^{\times} \) come pensavo. E quindi non capisco più che norma prende.... che pessima idea chiamare con lo stesso nome due norme differenti, a meno che la norma su \( K_{\infty}^{\times} \) in un qualche modo non coincida con la norma degli ideali quando \( z \in \mathcal{O}_K \).
Abbiamo che se \( \mathfrak{a} \subset \mathcal{O}_K \) è un ideale la norma è definita da
\[N(\mathfrak{a})= \left| \mathcal{O}_K/\mathfrak{a} \right| \]
e dato \(z \in K \) abbiamo che
\[ N_{K/\mathbb{Q} } = \prod_{j=1}^{n} z_j \]
dove \[ P_{K/\mathbb{Q},car,z}(X) = \prod_{i=1}^{n} (X-z_i ) \]
è il polinomio caratteristico su \( \overline{\mathbb{Q}} \) o alternativamente
\[ N_{K/\mathbb{Q}}(z) = \prod_{ \sigma \in \operatorname{Hom}_{\mathbb{Q}}(K,\overline{\mathbb{Q}}) } \sigma ( z) \]
quindi in particolare se \( z \in \mathcal{O}_K \) abbiamo che la sua norma
\[ \left| N_{K/\mathbb{Q}}(z) \right| = \prod_{ \sigma \in \operatorname{Hom}_{\mathbb{Q}}(K,\overline{\mathbb{Q}}) } \left| \sigma(z) \right| = N(\sigma_{\infty}(z)) \]
e poi usa il fatto che dato un ideale diverso da zero \( \mathfrak{a} \subset \mathcal{O}_K \), c'è una biiezione tra
\[ (\mathfrak{a}-\{0\})/\mathcal{O}_K^{\times} \leftrightarrow \mathfrak{a}' \subset \mathcal{O}_K, [\mathfrak{a}'] = [ \mathfrak{a}^{-1} ] \]
che soddisfano quando segue
\[ \left| N_{K/\mathbb{Q}}(a) \right| / N(\mathfrak{a}) = N(\mathfrak{a}') \]
dove \( a \in \mathfrak{a} - \{0\} \)

edit:
infatti la biiezione è indotta da \[ a \in \mathfrak{a} - \{0\} \mapsto (a) = a\mathcal{O}_K = \mathfrak{a} \mathfrak{a}' \]
e quindi
\[ a \in \mathfrak{a} - \{0\} \Leftrightarrow \mathfrak{a} \mid (a) \Leftrightarrow (a) = \mathfrak{a} \mathfrak{a}' \]
e quindi
\[ [\mathfrak{a}] [\mathfrak{a}'] = [(a)] = [\mathcal{O}_K] \]
e le norme soddisfano
\[ N( (a) ) = N(\mathfrak{a}) N(\mathfrak{a}') = \left| N_{K/\mathbb{Q}} ( a) \right| \]

pertanto contare gli elementi \(a \in \sigma_{\infty}(\mathfrak{a}) \) che soddisfano \( N(a) \leq X N(\mathfrak{a}) \), dove la norma di \(N(a) \) è intesa come norma su \(K_{\infty}^{\times} \), equivale a contare gli ideali \( \mathfrak{a}' \subset \mathcal{O}_K \) tale che
\[ N(\mathfrak{a}') = \left| N_{K/\mathbb{Q}}(a) \right|/N(\mathfrak{a}) \leq XN(\mathfrak{a})/N(\mathfrak{a}) = X \]

non lo so, sto solo cercando di dare un significato a cosa sta facendo... ma la verità è che ho più domande che risposte.