Dimostrazione che il fattore primo comune può essere uno solo
Siano \(x\) e \(y\) degli interi coprimi tale che
\[ x+y \]
e
\[ \frac{x^p + y^p}{x+y} \]
hanno un fattore primo in comune.
Dimostra che questo fattore primo in comune dev'essere \(p\).
La proof è molto breve, ma non capisco l'ultima congruenza, ne tanto meno la conclusione.
Mi dà l'idea di essere una cosa molto semplice, ma ho davvero problemi ha vederlo.
Dimostrazione:
Sia \(q\) il fattore primo in comune. Allora
\[ 0 \equiv \frac{x^p + y^p}{x+y} \equiv x^{p-1} - x^{p-1}y + \ldots + y^{p-1} \equiv p x^{p-1} \mod q \]
Non capisco come faccia a dire che
\[ x^{p-1} - x^{p-1}y + \ldots + y^{p-1} \equiv p x^{p-1} \mod q \]
E non capisco come
\[ 0 \equiv p x^{p-1} \mod q \]
possa dirmi che \( q= p \).
D'accordo se \(p \equiv 0 \) ho finito, ma potrebbe anche essere che \( x^{p-1} \equiv 0 \mod q \) ? Come fa ad escludere questo caso?
\[ x+y \]
e
\[ \frac{x^p + y^p}{x+y} \]
hanno un fattore primo in comune.
Dimostra che questo fattore primo in comune dev'essere \(p\).
La proof è molto breve, ma non capisco l'ultima congruenza, ne tanto meno la conclusione.
Mi dà l'idea di essere una cosa molto semplice, ma ho davvero problemi ha vederlo.
Dimostrazione:
Sia \(q\) il fattore primo in comune. Allora
\[ 0 \equiv \frac{x^p + y^p}{x+y} \equiv x^{p-1} - x^{p-1}y + \ldots + y^{p-1} \equiv p x^{p-1} \mod q \]
Non capisco come faccia a dire che
\[ x^{p-1} - x^{p-1}y + \ldots + y^{p-1} \equiv p x^{p-1} \mod q \]
E non capisco come
\[ 0 \equiv p x^{p-1} \mod q \]
possa dirmi che \( q= p \).
D'accordo se \(p \equiv 0 \) ho finito, ma potrebbe anche essere che \( x^{p-1} \equiv 0 \mod q \) ? Come fa ad escludere questo caso?
Risposte
$\frac{x^p+y^p}{x+y}=\sum_{i=0}^{p-1} (-1)^ix^iy^{p-1-i}$, e non quello che hai scritto tu.
Siano \(x\) e \(y\) coprimi e \(q\) un fattore di \(x+y\). Allora \(y \equiv -x \pmod{ q }\). Inoltre, essendo \(x\) e \(y\) coprimi, si ha \(x\not\equiv 0 \pmod{q}\).
Sia \(q\) il fattore primo comune a \(x+y\) e \(\displaystyle \frac{x^p + y^p}{x + y}\), allora segue banalmente che \(\displaystyle \frac{x^p + y^p}{x + y}\equiv 0\pmod{q}\).
A questo punto, se \(\displaystyle \frac{x^p + y^p}{x + y} = \sum_{i=0}^{p-1}(-1)^iy^ix^{p-1-i}\) (non ho fatto i calcoli, mi fido di voi su questo aspetto), allora \begin{align*} 0 &\equiv \frac{x^p + y^p}{x + y} \pmod{q}\\ &\equiv\sum_{i=0}^{p-1}(-1)^iy^ix^{p-1-i} \pmod{q} \\ &\equiv \sum_{i=0}^{p-1}x^{p-1} \pmod{q} \\ &\equiv px^{p-1} \pmod{q} \;. \end{align*}
L'ultimo aspetto deriva dal fatto che \(x\not\equiv 0 \pmod{q}\).
Sia \(q\) il fattore primo comune a \(x+y\) e \(\displaystyle \frac{x^p + y^p}{x + y}\), allora segue banalmente che \(\displaystyle \frac{x^p + y^p}{x + y}\equiv 0\pmod{q}\).
A questo punto, se \(\displaystyle \frac{x^p + y^p}{x + y} = \sum_{i=0}^{p-1}(-1)^iy^ix^{p-1-i}\) (non ho fatto i calcoli, mi fido di voi su questo aspetto), allora \begin{align*} 0 &\equiv \frac{x^p + y^p}{x + y} \pmod{q}\\ &\equiv\sum_{i=0}^{p-1}(-1)^iy^ix^{p-1-i} \pmod{q} \\ &\equiv \sum_{i=0}^{p-1}x^{p-1} \pmod{q} \\ &\equiv px^{p-1} \pmod{q} \;. \end{align*}
L'ultimo aspetto deriva dal fatto che \(x\not\equiv 0 \pmod{q}\).
"hydro":
$\frac{x^p+y^p}{x+y}=\sum_{i=0}^{p-1} (-1)^ix^iy^{p-1-i}$, e non quello che hai scritto tu.
Si ho fatto un piccolo typo, volevo scrivere \( x^{p-1} - y x^{p-2} + \ldots + y^{p-1} \).
"vict85":
A questo punto, se \( \displaystyle \frac{x^p + y^p}{x + y} = \sum_{i=0}^{p-1}(-1)^iy^ix^{p-1-i} \) (non ho fatto i calcoli, mi fido di voi su questo aspetto), allora \[ \begin{align*} 0 &\equiv \frac{x^p + y^p}{x + y} \pmod{q}\\ &\equiv\sum_{i=0}^{p-1}(-1)^iy^ix^{p-1-i} \pmod{q} \\ &\equiv \sum_{i=0}^{p-1}x^{p-1} \pmod{q} \\ &\equiv px^{p-1} \pmod{q} \;. \end{align*} \]
L'ultimo aspetto deriva dal fatto che \( x\not\equiv 0 \pmod{q} \).
La penultima congruenza l'avevo dedotta dall'ultima. Ma non vedo il perché dev'essere così.
L'unica cosa che sai per ipotesi è che $x=-y\mod q$, no? adesso sostituisci $-x$ ad $y$ nella scrittura di sopra, il claim segue subito!
"hydro":
L'unica cosa che sai per ipotesi è che $x=-y\mod q$, no? adesso sostituisci $-x$ ad $y$ nella scrittura di sopra, il claim segue subito!
già... grazie!Allora la coprimalità di \(x\) e \(y\) dove la usa?
Alla fine: se i due non fossero coprimi allora \(q\) potrebbe dividere \(x\).
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