Dimostrazione cambiamento di base logaritmo

[DR1]

$log_A X = (log_b X)/(log_b A)$
sul web ne ho trovate molte, ma non mi hanno convinto.
Una più ovvia ?

[Abigaille1]

basta aver capito la definizione di logaritmo e puoi dimostrarlo facilmente
per esempio mostrare che $b$ elevato a $ log_bAlog_AX $ dà proprio $X$
oppure puoi mostrare che $A$ elevato alla frazione a secondo membro dà $X$

[DR1]

$b^(log_b X) := X$
come fa $b "^" log_b A log_a X = X $ ?
tra $log_b A$ e $log_a X$ che operatore c'è ?

[onlyReferee]

Ciao DR1
Allora, è molto semplice (almeno provo a proporti la mia versione). Ciò che dobbiamo dimostrare è:
\[
\log_A X = \frac{\log_B X}{\log_B A}
\]
Ora, applicando semplicemente le definizioni di potenza e logaritmo alle varie quantità coinvolte abbiamo: $B^{\log_B X} = X, A^{\log_A X} = X$ e $B^{\log_B A} = A$. Poiché otteniamo $X$ da due di queste espressioni possiamo uguagliarle nel modo seguente:
\[
X = X\\
B^{\log_B X} = A^{\log_A X}
\]
Ora sostituiamo anche all'$A$ presente alla base della potenza la corrispondente espressione rispetto al logaritmo ed applichiamo le proprietà delle potenze:
\[
B^{\log_B X} = (B^{\log_B A})^{\log_A X}\\
B^{\log_B X} = B^{\log_B A \cdot \log_A X}
\]
Per l'iniettività della funzione esponenziale le due potenze aventi la stessa base $B$ saranno uguali soltanto se lo sono a loro volta gli esponenti, ossia quando $\log_B X = \log_B A \cdot \log_A X$ da cui ricaviamo in maniera semplice la nostra tesi:
\[
\log_A X = \frac{\log_B X}{\log_B A}
\]
Ti trovi più a tuo agio con questa dimostrazione

[DR1]

\[ X = X\\ B^{\log_B X} = A^{\log_A X} \]\[ B^{\log_B X} = (B^{\log_B A})^{\log_A X}\ \]
non mi è chiaro dov'è finita la $A$ di $A^(log_a X)$ ?

[onlyReferee]

Se $A = B^{\log_B A}$ basta che sostituisci tale quantità alla base $A$ di $A^{\log_A X}$...

[DR1]

Trovato
Da qui https://www.matematicamente.it/forum/cambiamento-di-base-per-logaritmi-t3597.html

"fireball":Sia:



loga(x) il logaritmo in base a di x,

logc(x) il logaritmo in base c di x.



loga(b) = B con B tale che:



a^B = b (1)



ora applico il logc(.) ad entrambi i membri di (1)



$logc(a^B) = logc(b)$



$B*logc(a) = logc(b)$ da cui:



$B = (logc(b))/(logc(a))$ oppure



$loga(b) = (logc(b))/(logc(a))$

[Gi81]

In una riga:
$log_a(b) * log_c(a)= log_c (a^(log_a (b)) )= log_c (b)$
Per ogni $a,b,c$ positivi e diversi da $1$