Dimostrazione ax+by=c
Devo dimostrare che presi due interi $a,b$, esistono due numeri $x,y$ tale che
$ax + by = c <=> d=(a,b) | c$
quindi in pratica devo dimostrare che $c$ e' un multiplo del MCD tra $a$ e $b$.
Se $c$ e' un multiplo di $d$ allora lo posso scrivere nella forma $c=c'*d + r$ dove $r=0$ e' il resto della divisione
tra $c$ e $d$.
Per la definizione di MCD so che $d|a$ e $d|b$ quindi posso anche scrivere che $a=a'd$ e $b=b'd$.
Sostituendo $a,b,c$ a $ax + by = c$ ho che $a'dx + b'dy = c'd$
e $d(a'x + b'x) = c'd$
dove entrambi i membri sono multipli di $d$
E' corretto?
$ax + by = c <=> d=(a,b) | c$
quindi in pratica devo dimostrare che $c$ e' un multiplo del MCD tra $a$ e $b$.
Se $c$ e' un multiplo di $d$ allora lo posso scrivere nella forma $c=c'*d + r$ dove $r=0$ e' il resto della divisione
tra $c$ e $d$.
Per la definizione di MCD so che $d|a$ e $d|b$ quindi posso anche scrivere che $a=a'd$ e $b=b'd$.
Sostituendo $a,b,c$ a $ax + by = c$ ho che $a'dx + b'dy = c'd$
e $d(a'x + b'x) = c'd$
dove entrambi i membri sono multipli di $d$
E' corretto?
Risposte
no.
intanto hai trattato solo una implicazione, quella [tex]$\Leftarrow$[/tex] e non l'altra.
e poi comunque non è una dimostrazione, perchè a un certo punto assumi per vera la tesi!!!!!!
tu devi mostrare che esistono [tex]$x,y$[/tex] tali che [tex]$ax+by=c$[/tex] e tale uguaglianza compare scritta all'improvviso senza giustificazione!!
a dirti il vero, hai scritto la dimostrazione dell' altra freccia, però assumendo le cose al contrario... insomma un gran casino.
intanto hai trattato solo una implicazione, quella [tex]$\Leftarrow$[/tex] e non l'altra.
e poi comunque non è una dimostrazione, perchè a un certo punto assumi per vera la tesi!!!!!!
tu devi mostrare che esistono [tex]$x,y$[/tex] tali che [tex]$ax+by=c$[/tex] e tale uguaglianza compare scritta all'improvviso senza giustificazione!!
a dirti il vero, hai scritto la dimostrazione dell' altra freccia, però assumendo le cose al contrario... insomma un gran casino.
aspetta, quindi devo giustificare anche $d$? Cioe' che $d=a*r + b*s$ ??
come vuoi, se sai che è vero va bene, l'importante è che tu sapia come dimostrarlo.
comunque la tua dimostrazione è lo stesso: incompleta (manca una freccia) e scritta male, cioè sbagliata per ora.
modificala.
comunque la tua dimostrazione è lo stesso: incompleta (manca una freccia) e scritta male, cioè sbagliata per ora.
modificala.
$d=a*r + b*s$, che poi e' l'identita' di Bezout, io la dimostrazione la conosco in questo modo:
preso in considerazione un insieme $D$ definito dagli elementi composti dagli interi $a*m+b*n$:
$D:={am+bn | m,n in ZZ}$, possiamo dire che $D sube ZZ$ e' un sottogruppo di $ZZ$ in quanto
e' chiuso rispetto l'addizione, esiste l'elmento neutro $(m*0+n*0)$, l'elemento inverso $((a*-m)+(b*-n))$,
e che possiamo denotare $D$ come $dZZ$ preso un opportuno $d$.
Essendo $d in dZZ$ allora esisteranno due interi $r$ ed $s$ tali che $d=ar + bs$, e poiche' anche
$a,b in dZZ$ allora abbiamo che $d|a$ e $d|b$, ma per la definizione di MCD esiste un $c$ tale che
$c|a ^^ c|b$, cioe' $a=a'*c$ e $b=b'*c$. Allora possiamo scrivere che:
$d=ar + bs = a'cr + b'cs = (a'r + b's)c$
da cui si vede che $c|d$, dove $d$ e' il MCD.
preso in considerazione un insieme $D$ definito dagli elementi composti dagli interi $a*m+b*n$:
$D:={am+bn | m,n in ZZ}$, possiamo dire che $D sube ZZ$ e' un sottogruppo di $ZZ$ in quanto
e' chiuso rispetto l'addizione, esiste l'elmento neutro $(m*0+n*0)$, l'elemento inverso $((a*-m)+(b*-n))$,
e che possiamo denotare $D$ come $dZZ$ preso un opportuno $d$.
Essendo $d in dZZ$ allora esisteranno due interi $r$ ed $s$ tali che $d=ar + bs$, e poiche' anche
$a,b in dZZ$ allora abbiamo che $d|a$ e $d|b$, ma per la definizione di MCD esiste un $c$ tale che
$c|a ^^ c|b$, cioe' $a=a'*c$ e $b=b'*c$. Allora possiamo scrivere che:
$d=ar + bs = a'cr + b'cs = (a'r + b's)c$
da cui si vede che $c|d$, dove $d$ e' il MCD.
Ho riprovato con la dimostrazione di $ax+by=c$ solo che in effetti ho la "tendenza" ad usare la tesi e mi ritrovo bloccato nel ragionamento.
Potresti darmi una traccia, cosi' vediamo se ci capisco qualcosa? Grazie.
Potresti darmi una traccia, cosi' vediamo se ci capisco qualcosa? Grazie.
allora intanto mi pare vada benissimo la dimostrazione di [tex]$\exists x',y' \text{ t.c. } ax'+by'=d$[/tex]
poi per il risultato che vogliamo:
intanto dimostra che [tex]$d \mid c \Rightarrow \exists x,y \text{ t.c. } ax+by=c$[/tex]
questo è davvero facile, partendo dall'ipotesi cioè [tex]$c=d \cdot c'$[/tex] e da [tex]$ax'+by'=d$[/tex] è davvero tanto facile trovare [tex]$x,y$[/tex].
poi la'altra freccia [tex]$ax+by=c \Rightarrow d \mid c$[/tex]
è circa quello che dimostri tu, cioè l'ipotesi che ti viene implicitamente da assumere è questa, quindi dovresti saperla fare per benino.
dai prova, confido nel fatto che adesso ti possa venire fuori tutto giusto.
poi per il risultato che vogliamo:
intanto dimostra che [tex]$d \mid c \Rightarrow \exists x,y \text{ t.c. } ax+by=c$[/tex]
questo è davvero facile, partendo dall'ipotesi cioè [tex]$c=d \cdot c'$[/tex] e da [tex]$ax'+by'=d$[/tex] è davvero tanto facile trovare [tex]$x,y$[/tex].
poi la'altra freccia [tex]$ax+by=c \Rightarrow d \mid c$[/tex]
è circa quello che dimostri tu, cioè l'ipotesi che ti viene implicitamente da assumere è questa, quindi dovresti saperla fare per benino.
dai prova, confido nel fatto che adesso ti possa venire fuori tutto giusto.
Se non ho capito male quando c'e' una doppia implicazione bisogna dimostrare
entrambi i versi??
Comunque sia ci provo...
dati due interi $a,b$ esistono due numeri $x,y$ tali che
$ax + by = c <=> d|c$
1) $d|c => EEx,y | ax + by = c$
per ipotesi si ha $c$ multiplo di $d$, per cui $c=c'd$ e $d=c/c' $
da Bezout sappiamo che $d = ax' + by'$ e sostituendo $d$
si ha che
$c/c'= ax' + by'$ da cui $c = ax'c' + by'c'$
posto $x=x'c'$ e $y=y'c'$ si ha la tesi $ax + by = c$
2) $ax + by = c => b|c$
dalla definizione di $MCD$ si ha che $d|a$ e $d|b$ da cui
$a=a'd$ e $b=b'd$ e, per ipotesi precedente, $c=c'd$ che
sostituiti a $ax + by = c$ si ha
$a'dx + b'dy = c'd$ e $d(a'x + b'y) = dc'$
in cui $c$ e' multiplo di $d$.
Puo' andare cosi'?
Edit: non capisco perche' ma mi inverte la visualizzazione di $c$ diviso $c'$ scrivendo il contrario.
Non ho capito come scriverlo correttamente....
entrambi i versi??
Comunque sia ci provo...
dati due interi $a,b$ esistono due numeri $x,y$ tali che
$ax + by = c <=> d|c$
1) $d|c => EEx,y | ax + by = c$
per ipotesi si ha $c$ multiplo di $d$, per cui $c=c'd$ e $d=c/c' $
da Bezout sappiamo che $d = ax' + by'$ e sostituendo $d$
si ha che
$c/c'= ax' + by'$ da cui $c = ax'c' + by'c'$
posto $x=x'c'$ e $y=y'c'$ si ha la tesi $ax + by = c$
2) $ax + by = c => b|c$
dalla definizione di $MCD$ si ha che $d|a$ e $d|b$ da cui
$a=a'd$ e $b=b'd$ e, per ipotesi precedente, $c=c'd$ che
sostituiti a $ax + by = c$ si ha
$a'dx + b'dy = c'd$ e $d(a'x + b'y) = dc'$
in cui $c$ e' multiplo di $d$.
Puo' andare cosi'?
Edit: non capisco perche' ma mi inverte la visualizzazione di $c$ diviso $c'$ scrivendo il contrario.
Non ho capito come scriverlo correttamente....
"GundamRX91":
2) $ax + by = c => d|c$
dalla definizione di $MCD$ si ha che $d|a$ e $d|b$ da cui
$a=a'd$ e $b=b'd$ e, per ipotesi precedente, $c=c'd$
ma scusa ti rendi conto che tu chiami "ipotesi precedente" quella che è la tesi? ma che senso ha?
il punto 1 non deve avere nulla a che fare con il punto 2, sono cose indipendenti e diverse, non puoi mischiarle.
non è che perchè hai chiamato un numero [tex]$c$[/tex] allora quel [tex]$c$[/tex] rimane lo stesso per sempre, ed è sempre scrivibile come [tex]$c=d \cdot c'$[/tex].
il punto non è questa dimostrazione nello specifico, ma che stai facendo una cosa assurda, che non ha nulla a che vedere con la logica.
capisci il perchè?
il punto 1 va bene, solo una notazione: non scrivere [tex]$d = \frac{c}{c'}$[/tex] perchè il simbolo di frazione non esiste negli interi, non è definito e non va usato. è corretto dire: da [tex]$ax'+by'=d$[/tex] moltiplico entrambi per [tex]$c'$[/tex] e ottengo [tex]$ax'c'+by'c'=dc'=c$[/tex]
risposta all'edit: ovviamente se tu scrivi c/c' lui legge " (c fratto c) il tutto con il simbolo ' " ovvero $c/c'$
se invece intendi "c fratto (c con il simbolo ') " dovrai scrivere c/(c') che infatti viene $c/(c')$
Ah! ok allora sono proprio due dimostrazioni separate... Io pensavo che la seconda fosse conseguenza della prima da cui
poterne "riportare" i concetti esposti.
Ok per la questione della frazione non possibile in $ZZ$; ora mi riscrivo il secondo punto e poi lo riporto.
Grazie per ora
Edit: si, in effetti poi ci sono arrivato pure io che bisognava mettere $c'$ tra parentesi... Poi riscrivo tutto con le dovute correzioni.
poterne "riportare" i concetti esposti.
Ok per la questione della frazione non possibile in $ZZ$; ora mi riscrivo il secondo punto e poi lo riporto.
Grazie per ora
Edit: si, in effetti poi ci sono arrivato pure io che bisognava mettere $c'$ tra parentesi... Poi riscrivo tutto con le dovute correzioni.
Riporto il punto 1 corretto, pero' per il punto 2 ho qualche dubbio....
dati due interi $a,b$ esistono due numeri $x,y$ tali che
$ax + by = c <=> d|c$
1) $d|c => EEx,y | ax + by = c$
per ipotesi si ha $c$ multiplo di $d$, per cui $c=c'd$;
da Bezout sappiamo che $d = ax' + by'$, sostituendo e moltiplicando
per $c'$ si ha che:
$ax'c' + by'c' = dc' = c$
posto $x=x'c'$ e $y=y'c'$ si ha la tesi $ax + by = c$
2) $ax + by = c => d|c$
dalla definizione di $MCD$, $d=(a,b)$, sappiamo che
$d|a ^^ d|b$ da cui
$a=a'd$ e $b=b'd$ che sostituiti a $ax + by = c$ danno:
$a'dx + b'dy = c$ e $d(a'x + b'y) = c$
dove $c$ e' multiplo di $d$ da cui la tesi $d|c$
dati due interi $a,b$ esistono due numeri $x,y$ tali che
$ax + by = c <=> d|c$
1) $d|c => EEx,y | ax + by = c$
per ipotesi si ha $c$ multiplo di $d$, per cui $c=c'd$;
da Bezout sappiamo che $d = ax' + by'$, sostituendo e moltiplicando
per $c'$ si ha che:
$ax'c' + by'c' = dc' = c$
posto $x=x'c'$ e $y=y'c'$ si ha la tesi $ax + by = c$
2) $ax + by = c => d|c$
dalla definizione di $MCD$, $d=(a,b)$, sappiamo che
$d|a ^^ d|b$ da cui
$a=a'd$ e $b=b'd$ che sostituiti a $ax + by = c$ danno:
$a'dx + b'dy = c$ e $d(a'x + b'y) = c$
dove $c$ e' multiplo di $d$ da cui la tesi $d|c$
"GundamRX91":
$a'dx + b'dy = c$ e $d(a'x + b'y) = c$
dove $c$ e' multiplo di $d$ da cui la tesi $d|c$
questa frase mi inquieta un pochino. un modo per dirlo senza crearmi ansie (
) sarebbe[tex]$d \left( a'x + b'y \right) = c$[/tex] da cui, per la definizione di "divide" si ha naturalmente che [tex]$d \mid c$[/tex]
ti è chiaro?
per il resto è ok.
comunque perchè tutti questi dubbi sulle doppie implicazioni? non è che sia un concetto che nasconde insidie, sono due frecce indipendenti raccolte in una, non lasciarti trarre in inganno.
Ho capito, anche perche' e' la stessa cosa 
Per la doppia implicazione semplicemente non avevo idea che andasse dimostrato in questo modo,
cioe' separatamente come mi hai indicato.
Comunque ti ringrazio veramente tanto perche', come sempre, mi hai fatto ragionare (ma che fatica,
e con la mia eta' e' un dramma.... ).
Se posso poi vorrei chiederti un consiglio, magari in pvt per non andare OT..... Grazie
Per la doppia implicazione semplicemente non avevo idea che andasse dimostrato in questo modo,
cioe' separatamente come mi hai indicato.
Comunque ti ringrazio veramente tanto perche', come sempre, mi hai fatto ragionare (ma che fatica,
e con la mia eta' e' un dramma....
).Se posso poi vorrei chiederti un consiglio, magari in pvt per non andare OT..... Grazie
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