Dimostrazione attraverso esempi
Salve,
rinfrescando alcuni argomenti di matematica, mi è tornata in mente una domanda/dubbio che non ho mai pienamente risolto.
La questione sarebbe:
una dimostrazione di un teorema attraverso un esempio può essere fatta?
Meglio: una dimostrazione per affermare che un teorema è sempre VERO attraverso un esempio esplicito è corretto?
con un controesempio per la falsità del teorema è facile dire che è corretto l'utilizzo di questa dimostrazione, ma per la veridicità?
Sicuramente in teoremi cosidetti banali, o derivati da assiomi, sicuramente una dimostrazione di questo tipo è possibile.
esempio da cui deriva il dubbio:
Dimostrazione che se due matrici sono triangolari inferiori, anche la loro moltiplicazione lo è.
La sua dimostrazione (discorsivamente) deriva da un fatto dimostrato che un valore moltiplicato per zero è zero, ma dire che è triangolare inferiore il risultato è una cosa che implica la moltiplicazione.
Perciò un esempio penso sia una dimostrazione per la sua verdicità.
Può essere corretto quello che ho detto? E in generale quando è corretto usare questa banale tecnica di dimostrazione?
Ringrazio chi aiuta
rinfrescando alcuni argomenti di matematica, mi è tornata in mente una domanda/dubbio che non ho mai pienamente risolto.
La questione sarebbe:
una dimostrazione di un teorema attraverso un esempio può essere fatta?
Meglio: una dimostrazione per affermare che un teorema è sempre VERO attraverso un esempio esplicito è corretto?
con un controesempio per la falsità del teorema è facile dire che è corretto l'utilizzo di questa dimostrazione, ma per la veridicità?
Sicuramente in teoremi cosidetti banali, o derivati da assiomi, sicuramente una dimostrazione di questo tipo è possibile.
esempio da cui deriva il dubbio:
Dimostrazione che se due matrici sono triangolari inferiori, anche la loro moltiplicazione lo è.
La sua dimostrazione (discorsivamente) deriva da un fatto dimostrato che un valore moltiplicato per zero è zero, ma dire che è triangolare inferiore il risultato è una cosa che implica la moltiplicazione.
Perciò un esempio penso sia una dimostrazione per la sua verdicità.
Può essere corretto quello che ho detto? E in generale quando è corretto usare questa banale tecnica di dimostrazione?
Ringrazio chi aiuta
Risposte
"ham_burst":
una dimostrazione di un teorema attraverso un esempio può essere fatta?
Meglio: una dimostrazione per affermare che un teorema è sempre VERO attraverso un esempio esplicito è corretto?
no. no.
"ham_burst":
Sicuramente in teoremi cosidetti banali, o derivati da assiomi, sicuramente una dimostrazione di questo tipo è possibile.
non è vero.
"ham_burst":
Perciò un esempio penso sia una dimostrazione per la sua verdicità.
non lo è.
"ham_burst":
Può essere corretto quello che ho detto? E in generale quando è corretto usare questa banale tecnica di dimostrazione?
no. mai.
Non troverai nessuno d'accordo con quanto hai detto, mi dispiace...
I teoremi di cui la dimostrazione è detta "banale" è solo perché è immediata, non perché si riduce alla prova del teorema in un solo caso, ossia l'esempio considerato.
Prova a fare una dimostrazione rigorosa dell'esempio che hai fatto...
Secondo me è un esercizio carino.
Bea
I teoremi di cui la dimostrazione è detta "banale" è solo perché è immediata, non perché si riduce alla prova del teorema in un solo caso, ossia l'esempio considerato.
Prova a fare una dimostrazione rigorosa dell'esempio che hai fatto...
Secondo me è un esercizio carino.
Bea
Riassumendo: ho detto na panzana (lo immaginavo), ma avevo un dubbio che volvevo risolvere.
grazie delle risposte
grazie delle risposte
"ham_burst":... la dimostrazione di quest'ultima affermazione è un esercizio per il lettore.
Riassumendo: ho detto na panzana ...
Per l'esempio da cui è derivato il mio dubbio, ho pensato a due possibili dimostrazioni (senza toccare la fantastica affermazione che ho detto nel primo post ):
una utilizzando le sottomatrici con $A_k k
siano A e B due matrici nxn triangolari inferiori:
caso base :
n = 1 moltiplicazione tra due valori.
n = 2
$A_2 = \((a_11,0),(a_21,a_22))$ $B_2 = \((b_11,0),(b_21,b_22))$
$A_2*B_2 = \((a_11*b_11,0),(a_21*b_11+a_22*b_21,a_22*b_22))$ è triangolare inferiore. OK
Siano sottomatrici $A_k$ e $B_k$ con $k<=n$ ed $a_(kxk)$ elemento della matrice $A_1$
tesi: k=n
$A_k = \((A_(k-1),0),(a^T,A_1))$ $B_k = \((B_(k-1),0),(b^T,B_1))$
$A_k*B_k = \((A_(k-1)*B_(k-1),0),(a^T*B_(k-1)+A_1*b^T,A_1*B_1))$
ipotesi che valga anche con sottomatrice con k=k-1:
$A_k*B_k = \((A_(k-1)*B_(k-1),0),(a^T*B_(k-1)+A_1*b^T,A_1*B_1)) =^(IP) \((A_(k-2)*B_(k-2),0),(a^T*B_(k-2)+A_2*b^T,A_2*B_2))$
per $A_2*B_2$ è trinagolare inferiore, ma manca qualcosa.
bho può andare? secondo me l'ho scritta male, ma penso che se scritta meglio possa essere corretta.
Sareste così gentili da dirmi dove è sbagliato e dove si può correggere? Ringrazio
):una utilizzando le sottomatrici con $A_k k
siano A e B due matrici nxn triangolari inferiori:
caso base :
n = 1 moltiplicazione tra due valori.
n = 2
$A_2 = \((a_11,0),(a_21,a_22))$ $B_2 = \((b_11,0),(b_21,b_22))$
$A_2*B_2 = \((a_11*b_11,0),(a_21*b_11+a_22*b_21,a_22*b_22))$ è triangolare inferiore. OK
Siano sottomatrici $A_k$ e $B_k$ con $k<=n$ ed $a_(kxk)$ elemento della matrice $A_1$
tesi: k=n
$A_k = \((A_(k-1),0),(a^T,A_1))$ $B_k = \((B_(k-1),0),(b^T,B_1))$
$A_k*B_k = \((A_(k-1)*B_(k-1),0),(a^T*B_(k-1)+A_1*b^T,A_1*B_1))$
ipotesi che valga anche con sottomatrice con k=k-1:
$A_k*B_k = \((A_(k-1)*B_(k-1),0),(a^T*B_(k-1)+A_1*b^T,A_1*B_1)) =^(IP) \((A_(k-2)*B_(k-2),0),(a^T*B_(k-2)+A_2*b^T,A_2*B_2))$
per $A_2*B_2$ è trinagolare inferiore, ma manca qualcosa.
bho può andare? secondo me l'ho scritta male, ma penso che se scritta meglio possa essere corretta.
Sareste così gentili da dirmi dove è sbagliato e dove si può correggere? Ringrazio
un esempio si potrebbe anche vedere come un teorema?
Teorema: tutti gli interi sono divisibili per $3$.
Per esempio: $15 : 3 = 5$ quindi il teorema è dimostrato.
Non mi pare una dimostrazione.
Il contro esempio è una dimostrazione ma solo per alcuni teoremi.
E' sicuramente più "facile" fare un controesempio, quando questo è possibile.
Se però vi chiedo: $15 :3 = 5$ è un teorema (senza nulla togliere al fatto che dimostra solo se stesso e non è di nessuna utilita')?
Beatrice123 ha già credo risposto a questa domanda (se ho interpretato correttamente cio' che ha scritto).
Mi sarebbe gradito un parere, per chiarire (chiarirmi) quanto e ampio o quanto viene usato in maniera discriminante il concetto di teorema, e quanti sono convinti del fatto che $15:3=5$ è o no è un teorema.
Visto che la domanda potrebbe essere stupida, confido nelle possibiltà a favore di una risposta inteligente.
Grazie
Teorema: tutti gli interi sono divisibili per $3$.
Per esempio: $15 : 3 = 5$ quindi il teorema è dimostrato.
Non mi pare una dimostrazione.
Il contro esempio è una dimostrazione ma solo per alcuni teoremi.
E' sicuramente più "facile" fare un controesempio, quando questo è possibile.
Se però vi chiedo: $15 :3 = 5$ è un teorema (senza nulla togliere al fatto che dimostra solo se stesso e non è di nessuna utilita')?
Beatrice123 ha già credo risposto a questa domanda (se ho interpretato correttamente cio' che ha scritto).
Mi sarebbe gradito un parere, per chiarire (chiarirmi) quanto e ampio o quanto viene usato in maniera discriminante il concetto di teorema, e quanti sono convinti del fatto che $15:3=5$ è o no è un teorema.
Visto che la domanda potrebbe essere stupida, confido nelle possibiltà a favore di una risposta inteligente.
Grazie
"krek":
Teorema: tutti gli interi sono divisibili per $3$.
Per esempio: $15 : 3 = 5$ quindi il teorema è dimostrato.
Non mi pare una dimostrazione.
Infatti non lo è.
"krek":
Il controesempio è una dimostrazione ma solo per alcuni teoremi.
Ma anche no.
"krek":
E' sicuramente più "facile" fare un controesempio, quando questo è possibile.
Direi che è il contrario.
Cercare controesempi è una cosa lunga e faticosa di solito; è trovare esempi che è banale.
"krek":
Se però vi chiedo: $15 :3 = 5$ è un teorema (senza nulla togliere al fatto che dimostra solo se stesso e non è di nessuna utilita')?
Beatrice123 ha già credo risposto a questa domanda (se ho interpretato correttamente cio' che ha scritto).
Mi sarebbe gradito un parere, per chiarire (chiarirmi) quanto e ampio o quanto viene usato in maniera discriminante il concetto di teorema, e quanti sono convinti del fatto che $15:3=5$ è o no è un teorema.
Certo che è un teorema: infatti si dimostra. Un teorema banale quanto si vuole, ma pur sempre un teorema.
[Modalità follia: on] Quando si deve dimostrare l'esistenza di un oggetto di qualsivoglia natura, i matematici hanno la simpatica abitudine di costruirlo. Un esempio di teorema di questo tipo:
Teorema: Esistono insiemi non misurabili secondo Peano-Jordan.
La dimostrazione consiste di un esempio di insieme che non soddisfa le condizioni di misurabilità secondo P-J
[Modalità follia: off]
Detto questo vado a dormire... E' stata una giornataccia...
Teorema: Esistono insiemi non misurabili secondo Peano-Jordan.
La dimostrazione consiste di un esempio di insieme che non soddisfa le condizioni di misurabilità secondo P-J
[Modalità follia: off]
Detto questo vado a dormire... E' stata una giornataccia...
@ gugo82: grazie per la risposta
il teorema con esempio era per rispondere a ham_burst sul fatto che un esempio non è una dimostrazione. (la domanda che ha fatto è interessante anche se poi l'ha ritenuta una panzana).
Hai ragione che trovare un esempio è facile e un controesempio è faticoso.
Mi riferivo non tanto all'esempio e al contro esempio, ma alla dimostrazioni in cui è possibile arrivare a una conclusione con un contro esempio (contortissimo è un concetto che ho in testa ma in questo momento o difficolta a esprimerlo correttamente, mi scuso per questa mia mancanza di lucidità).
E' un teorema e mi chiedo quanti all'inizio degli studi lo riconoscono come tale.
il teorema con esempio era per rispondere a ham_burst sul fatto che un esempio non è una dimostrazione. (la domanda che ha fatto è interessante anche se poi l'ha ritenuta una panzana).
Hai ragione che trovare un esempio è facile e un controesempio è faticoso.
Mi riferivo non tanto all'esempio e al contro esempio, ma alla dimostrazioni in cui è possibile arrivare a una conclusione con un contro esempio (contortissimo è un concetto che ho in testa ma in questo momento o difficolta a esprimerlo correttamente, mi scuso per questa mia mancanza di lucidità).
E' un teorema e mi chiedo quanti all'inizio degli studi lo riconoscono come tale.
"Mathematico":
[Modalità follia: on] Quando si deve dimostrare l'esistenza di un oggetto di qualsivoglia natura, i matematici hanno la simpatica abitudine di costruirlo. Un esempio di teorema di questo tipo:
Teorema: Esistono insiemi non misurabili secondo Peano-Jordan.
La dimostrazione consiste di un esempio di insieme che non soddisfa le condizioni di misurabilità secondo P-J
[Modalità follia: off]
Detto questo vado a dormire... E' stata una giornataccia...
Potresti partire definendo tutti gli strumenti che ti occorrono.
Teorema: Esistono Proposizioni che sono panzane secondo ham_burst
Definito cos'è la panzana secondo ham_burst dovresti dimostrare in base alle proprietà se quella che hai detto è una panzana secondo ham_burst.
Nel mio messaggio precedente ho fatto l'imbroglione.. Quella tecnica dimostrativa viene detta "dimostrazione per costruzione" 
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