Dimostrazione a 3 incognite

[Susannap1]

Mi aiutate a dimostrare che se :

$(a)/(b - c) $ $+ $ $ (b)/(c - a)$ $+$ $(c)/(a - b)$ $=$ $ 0$

allora anche :

$(a)/(b - c)^2 $ $+ $ $ (b)/(c - a)^2$ $+$ $(c)/(a - b)^2$ $=$ $ 0$

[Steven11]

[mod="Steven"]Mi sembra più da "Algebra", quindi sposto.

Con l'occasione, ti chiedo di modificare il titolo del topic, scegliendone uno più indicativo dell'oggetto del topic stesso.
E di mostrare il punto in cui i tuoi tentativi si bloccano.

Grazie per la compresione.[/mod]

[Susannap1]

Certo


$0=$ $((a)/(b - c)^3 $ $+ $ $ (b)/(c - a)^3$ $+$ $(c)/(a - b)^3 )$ $ . $ $((a)/(b - c)$ $+ $ $ (b)/(c - a)$ $+$ $(c)/(a - b))$ $>=$ $((a)/(b - c)^2 $ $+ $ $ (b)/(c - a)^2$ $+$ $(c)/(a - b)^2 )^2$ $>=0$

cosi è corretto ?

[Thomas16]

prendi la prima e la moltiplichi per $1/(b-c)$, per $1/(c-a)$ e per $1/(a-b)$. Poi sommi le 3 equazioni. Se chiami S la somma che vuoi dimostrare essere nulla ottieni per ora

$S + \sum_{cyc}[b/((c-a)(b-c))+c/((a-b)(b-c))]=0$

rimane da dimostrare che la seconda somma è nulla, ma:

$\sum_{cyc}b/((c-a)(b-c))+\sum_{cyc}c/((a-b)(b-c))=\sum_{cyc}b/((c-a)(b-c))+\sum_{cyc}b/((c-a)(a-b))=$

$\sum_{cyc}[b/((c-a)(b-c))+b/((c-a)(a-b))]=\sum_{cyc}[b/(c-a)(1/(b-c)+1/(a-b))]=\sum_{cyc}[(b(a-c))/((c-a)(b-c)(a-b))]=$

$(\sum_{cyc}[b(a-c)])/((c-a)(b-c)(a-b))= (b(a-c)+c(b-a)+a(c-b) )/((c-a)(b-c)(a-b)]=0$

dove $\sum_{cyc}$ indica la somma sulle tre permutazioni cicliche di (a,b,c). I calcoli li puoi fare anche tranquillamente estendendo tutte le sommatorie.

[Susannap1]

Problema risolto , grazie Thomas

[Thomas16]

se hai altre dimostrazione posta (la precedente non l'ho capita).... di nulla cmq