Dimostrazione

[dan952]

Siano $r,s \in NN$ tali che $(r,s,)=1$. Dimostrare che $QQ(\zeta_r,\zeta_s)=QQ(\zeta_{rs})$

Non mi viene in mente nulla.

[Studente Anonimo]

Io comincerei mostrando che hanno lo stesso grado su Q.

[dan952]

Per farla breve, l'estensioni hanno lo stesso grado su $QQ$ perché vale $\varphi(rs)=\varphi(r)\varphi(s)$ essendo $(r,s)=1$, ora se mostro che una è contenuta nell'altra dovrei aver finito.

[Studente Anonimo]

E non è ovvio che la prima è contenuta nella seconda?

Secondo me la parte noiosa è mostrare che hanno lo stesso grado. Prova a scrivere i dettagli.

[dan952]

L'estensione $QQ \sub QQ(\zeta_{rs})$ ha grado $\varphi(rs)$ e $QQ \sub QQ(\zeta_{r},\zeta_{s})$ ha grado $\varphi(r)\varphi(s)$, poiché $(r,s)=1$ segue $\varphi(rs)=\varphi(r)\varphi(s)$. Se una è contenuta nell'altra per esempio $QQ(\zeta_{rs}) \sube QQ(\zeta_r,\zeta_s)$ necessariamente le due estensioni coincidono proprio perché hanno lo stesso grado.

[Studente Anonimo]

A me quell'inclusione non pare ovvia. L'altra inclusione invece è ovvia.

Inoltre non mi hai convinto con l'argomento della moltiplicatività. Capisco che lo devi usare ma secondo me c'è bisogno di più dettagli. In che modo stai usando la formula dei gradi?

[Studente Anonimo]

"dan95":$QQ \sub QQ(\zeta_{r},\zeta_{s})$ ha grado $\varphi(r)\varphi(s)$

Come dimostri questo?

[dan952]

L'estensione $QQ(\zeta_r,\zeta_s)$ ha grado $\varphi(r)$ su $QQ(\zeta_s)$, perché $QQ(\zeta_r)nnQQ(\zeta_s)=QQ$ essendo $(r,s)=1$, dunque il polinomio minimo che si spezza in $QQ(\zeta_r,\zeta_s)$ (visto come estensione di $QQ(\zeta_s)$) ha coefficienti in $QQ$, a sua volta $QQ(\zeta_s)$ ha grado $\varphi(s)$ su $QQ$.