Dimostrazioncina circa un polinomio minimo
Mi è chiesto di dire se l'elemento $sqrt(3) + sqrt(7)$ è algebrico su $Q$ ed in caso positivo, determinarne il polinomio minimo.
Come consueto, imponendo $a = sqrt(3) + sqrt(7)$ arrivo a dire, tramite facili passaggi, che il polinomio $x^4 -20x^2 + 16$ è annullato da $a$.
L'irriducibilità di tale polinomio su $Q$ non è difficile da provare, mentre la minimalità di "4" fra i gradi dei polinomi che $a$ annulla, mi è oscura. Sul libro, la soluzione recita:
"Se $a$ annullasse un polinomio di grado inferiore, questo polinomio avrebe grado 2 ed in tal caso l'elemento $sqrt(3) + sqrt(7)$ dovrebe appartenere a $Q(sqrt(3))$ il chè vorrebbe dire che $sqrt(7)$ appartiene a $Q(sqrt(3))$ che è impossibile"
Ora, sul fatto che $sqrt(7)$ non appartenga a $Q(sqrt(3))$ sono d'accordo.
Ma da quali certezze provengono gli asserti "allora l'eventuale polinomio di grado inferiore ha grado 2" e soprattutto perchè se ha grado 2, l'elemento $a$ dovrebbe stare in $Q(sqrt(3))$ ?????
Come consueto, imponendo $a = sqrt(3) + sqrt(7)$ arrivo a dire, tramite facili passaggi, che il polinomio $x^4 -20x^2 + 16$ è annullato da $a$.
L'irriducibilità di tale polinomio su $Q$ non è difficile da provare, mentre la minimalità di "4" fra i gradi dei polinomi che $a$ annulla, mi è oscura. Sul libro, la soluzione recita:
"Se $a$ annullasse un polinomio di grado inferiore, questo polinomio avrebe grado 2 ed in tal caso l'elemento $sqrt(3) + sqrt(7)$ dovrebe appartenere a $Q(sqrt(3))$ il chè vorrebbe dire che $sqrt(7)$ appartiene a $Q(sqrt(3))$ che è impossibile"
Ora, sul fatto che $sqrt(7)$ non appartenga a $Q(sqrt(3))$ sono d'accordo.
Ma da quali certezze provengono gli asserti "allora l'eventuale polinomio di grado inferiore ha grado 2" e soprattutto perchè se ha grado 2, l'elemento $a$ dovrebbe stare in $Q(sqrt(3))$ ?????
Risposte
Tu hai trovato che $a$ è zero di un polinomio di 4° grado, chiamiamolo $q$ (che non ha radici razionali, quindi se fosse riducibile sarebbe prodotto di due polinomi di 2° grado).
Se il polinomio minimo $p_a$ di $a$ fosse di grado minore, allora $p_a$ dovrà essere divisore di $q$, quindi necessariamente di 2° grado per quanto detto sopra.
La considerazione sul fatto che allora $a in QQ(\sqrt{3})$ segue dal teorema della torre.
Più chiaro?
Se il polinomio minimo $p_a$ di $a$ fosse di grado minore, allora $p_a$ dovrà essere divisore di $q$, quindi necessariamente di 2° grado per quanto detto sopra.
La considerazione sul fatto che allora $a in QQ(\sqrt{3})$ segue dal teorema della torre.
Più chiaro?
Se non interpreto male, stai dicendo che poichè $q$ abbiamo escluso possa essere diviso da un polinomio di terzo grado (automaticamente neanche da uno di primo grado) avendo escluso l'esistenza di radici razionali, allora poichè i polinomi che hanno come zero l'elemento $a$ sono facenti parte dello stesso ideale principale generato dal POLINOMIO MINIMO, allora non è ammissibile che tale polinomio minimo sia di grado 1 (ovviamente neanche di grado 3). ok come motivo formale ci siamo!
Questo teorema della torre invece? Non riguarda la moltiplicazione dei gradi delle estensioni??
Come si connette a questo problema? Ti ringrazio, ad ogni modo :)
Questo teorema della torre invece? Non riguarda la moltiplicazione dei gradi delle estensioni??
Come si connette a questo problema? Ti ringrazio, ad ogni modo :)
P.S. E' secondo te valida la seguente strada alternativa?
Trovo il polinomio di quarto grado.
Noto che EISENSTEIN e la riduzione modulo p, non mi aiutano.
Impongo che sia prodotto di due polinomi di secondo grado (quindi finora restano le considerazioni figlie della non esistenza di radici),
vedo che questo non è fattibile per alcuna quaterna di coefficienti razionali (..come risultato del seccante sistema a 4 equazioni 4 incognite) e deduco quindi che è IRRIDUCIBILE.
A questo punto mi ricordo il teorema che dice:
Se un polinomio è irriducibile su Q e MONICO, allora è il polinomio minimo di tutte le sue radici. FINE.
Che ne pensi/ate ?
Attendo con ansia (mi riconnetterò purtroppo solo domani) l'applicazione del "teorema della torre".
Grazie
Trovo il polinomio di quarto grado.
Noto che EISENSTEIN e la riduzione modulo p, non mi aiutano.
Impongo che sia prodotto di due polinomi di secondo grado (quindi finora restano le considerazioni figlie della non esistenza di radici),
vedo che questo non è fattibile per alcuna quaterna di coefficienti razionali (..come risultato del seccante sistema a 4 equazioni 4 incognite) e deduco quindi che è IRRIDUCIBILE.
A questo punto mi ricordo il teorema che dice:
Se un polinomio è irriducibile su Q e MONICO, allora è il polinomio minimo di tutte le sue radici. FINE.
Che ne pensi/ate ?
Attendo con ansia (mi riconnetterò purtroppo solo domani) l'applicazione del "teorema della torre".
Grazie
Beh qui è tutto un gioco di gradi dell'estensione.
Il grado dell'estensione $[QQ(a):QQ]$ è il grado del polinomio minimo di $a$ su $QQ$.
Osserviamo che certamente $QQ(\sqrt{3}) \sube QQ(a)$.
Questo perchè l'inverso di $a$ è ${\sqrt{7}-\sqrt{3}}/{4}$, e deve appartenere anche lui a $QQ(a)$ perchè siamo in un campo.
Quindi $\sqrt{7}-\sqrt{3} in QQ(a)$, e sottraendo ad $a$ otteniamo che anche $\sqrt{3}$ appartiene a $QQ(a)$ (Volendo si fa lo stesso ragionamento per $\sqrt{7}$).
Poichè $QQ(\sqrt{3})$ ha grado 2 come estensione di $QQ$, per la torre:
$[QQ(a):QQ]=[QQ(a):QQ(\sqrt{3})]*[QQ(\sqrt{3}):QQ]=[QQ(a):QQ(\sqrt{3})]*2$
Quindi se anche $a$ avesse grado 2 avresti $[QQ(a):QQ(\sqrt{3})]=1$, ovvero le due estensioni coinciderebbero e questo è impossibile, perchè $\sqrt{7}$ non appartiene a $QQ(\sqrt{3})$.
Il grado dell'estensione $[QQ(a):QQ]$ è il grado del polinomio minimo di $a$ su $QQ$.
Osserviamo che certamente $QQ(\sqrt{3}) \sube QQ(a)$.
Questo perchè l'inverso di $a$ è ${\sqrt{7}-\sqrt{3}}/{4}$, e deve appartenere anche lui a $QQ(a)$ perchè siamo in un campo.
Quindi $\sqrt{7}-\sqrt{3} in QQ(a)$, e sottraendo ad $a$ otteniamo che anche $\sqrt{3}$ appartiene a $QQ(a)$ (Volendo si fa lo stesso ragionamento per $\sqrt{7}$).
Poichè $QQ(\sqrt{3})$ ha grado 2 come estensione di $QQ$, per la torre:
$[QQ(a):QQ]=[QQ(a):QQ(\sqrt{3})]*[QQ(\sqrt{3}):QQ]=[QQ(a):QQ(\sqrt{3})]*2$
Quindi se anche $a$ avesse grado 2 avresti $[QQ(a):QQ(\sqrt{3})]=1$, ovvero le due estensioni coinciderebbero e questo è impossibile, perchè $\sqrt{7}$ non appartiene a $QQ(\sqrt{3})$.
Quindi si può dire in generale che se un campo $K$ estende $F$ e $[K : F] = 1$ allora $K$ è $F$ ??
(L'implicazione inversa è banalmente corretta)
(L'implicazione inversa è banalmente corretta)
Si, se $K$ è uno spazio vettoriale di dimensione 1 su $F$ allora $K$ è isomorfo a $F$. Se $F$ è incluso in $K$, segue che sono uguali.
Molto chiaro.. grazie!
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