Dimostrare una doppia implicazione
Salve a tutti.
Vi vorrei chiedere un aiuto per dimostrare un teorema.
In generale, se io devo dimostrare una relazione fra due proprietà e ho che:
\( A\Longleftrightarrow B \)
ovvero che la prima è vera se e solo se la seconda è vera.
Se dimostro che la prima non è vera se e solo se la secondo non è vera, ovvero:
\( \overline{A}\Longleftrightarrow \overline{B} \)
posso dire di aver dimostrate la prima?
Grazie a tutti
Vi vorrei chiedere un aiuto per dimostrare un teorema.
In generale, se io devo dimostrare una relazione fra due proprietà e ho che:
\( A\Longleftrightarrow B \)
ovvero che la prima è vera se e solo se la seconda è vera.
Se dimostro che la prima non è vera se e solo se la secondo non è vera, ovvero:
\( \overline{A}\Longleftrightarrow \overline{B} \)
posso dire di aver dimostrate la prima?
Grazie a tutti
Risposte
@alexlipa91
\( A\Longleftrightarrow B \) è equivalente alla \( (A \to B) \wedge (B \to A) \)
"alexlipa91":
Salve a tutti.
Vi vorrei chiedere un aiuto per dimostrare un teorema.
In generale, se io devo dimostrare una relazione fra due proprietà e ho che:
\( A\Longleftrightarrow B \)
ovvero che la prima è vera se e solo se la seconda è vera.
Se dimostro che la prima non è vera se e solo se la secondo non è vera, ovvero:
\( \overline{A}\Longleftrightarrow \overline{B} \)
posso dire di aver dimostrate la prima?
Grazie a tutti
\( A\Longleftrightarrow B \) è equivalente alla \( (A \to B) \wedge (B \to A) \)
sisi ok, su questo ci sono.
Però, siccome ho trovato una dimostrazione di una doppia implicazione tramite la negazione delle due parti volevo sapere se fosse corretta.
Però, siccome ho trovato una dimostrazione di una doppia implicazione tramite la negazione delle due parti volevo sapere se fosse corretta.
@alexlipa91,
ora ho capito, ti rispondo che è corretta e il motivo è semplice(mente) da vedere nella logica delle proposizioni; basta vedere che \( A \leftrightarrow B \) è equivalente a \( not(A) \leftrightarrow not(B) \), sappiamo che \(A \leftrightarrow B \) è equivalente ad \( A \to B \wedge B \to A \), una generica implicazione \( C \to D \) è equivalente alla sua contronominale ovvero "\( not(D) \to not(C) \)", e quindi \( A \to B \wedge B \to A \) è equivalente ad \( not(B) \to not(A) \wedge not(A) \to not(B) \) e quindi (per la commutatività della congiunzione \( \wedge\)) è ancora equivalente a \( not(A) \leftrightarrow not(B) \)..
Saluti
P.S.=Preciso che due proposizioni sono equivalenti se hanno stessa tabella di verità (ovvero: in corrispondenza degli stessi valori di verità delle proposizioni atomiche la proposizione composta ha lo stesso valore), per farti più convinto guarda qui e qui
"alexlipa91":
sisi ok, su questo ci sono.
Però, siccome ho trovato una dimostrazione di una doppia implicazione tramite la negazione delle due parti volevo sapere se fosse corretta.
ora ho capito, ti rispondo che è corretta e il motivo è semplice(mente) da vedere nella logica delle proposizioni; basta vedere che \( A \leftrightarrow B \) è equivalente a \( not(A) \leftrightarrow not(B) \), sappiamo che \(A \leftrightarrow B \) è equivalente ad \( A \to B \wedge B \to A \), una generica implicazione \( C \to D \) è equivalente alla sua contronominale ovvero "\( not(D) \to not(C) \)", e quindi \( A \to B \wedge B \to A \) è equivalente ad \( not(B) \to not(A) \wedge not(A) \to not(B) \) e quindi (per la commutatività della congiunzione \( \wedge\)) è ancora equivalente a \( not(A) \leftrightarrow not(B) \)..
Saluti
P.S.=Preciso che due proposizioni sono equivalenti se hanno stessa tabella di verità (ovvero: in corrispondenza degli stessi valori di verità delle proposizioni atomiche la proposizione composta ha lo stesso valore), per farti più convinto guarda qui e qui
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