Dimostrare se un insieme è un reticolo

[antox9]

Ciao a tutti, sto affrontando degli esercizi d'esame e vorrei chiarire alcuni dubbi a proposito di questo:

Si consideri il sottoinsieme ordinato

$D' := {1 , 3 , 2 , 18 , 30 , 60}$ di $D_270$
rispetto alla relazione di divisibilità.

E' un reticolo?

Ora, so che per determinare se è un reticolo è necessario verificare che per ogni coppia di elementi esistano estremo inferiore e superiore all'interno dell'insieme, e che nel caso della relazione di divisibilità posso porre
$min(a,b) = MCD(a,b)$ e $max(a,b) = mcm(a,b)$

Il dubbio che ho, è che presa come coppia ad esempio $(3,2)$ ho $MCD(3,2) = 1 \in D'$ mentre $mcm(3,2) = 6$ che non appartiene a $D'$.
Però ho ad esempio $18$ che è un multiplo comune ad entrambi i numeri della coppia. E' comunque giusto dire che l'insieme NON è un reticolo?

[Antimius]

Fare il diagramma di Hasse, quando gli elementi dell'insieme sono pochi, aiuta

Comunque, è vero che $18$ è multiplo comune a entrambi e quindi è un maggiorante. Ma un maggiorante è un sup se è più piccolo di ogni maggiorante. Però anche $30$ è un maggiorante ma questi non sono confrontabili fra loro. Perciò, quella coppia non ha sup Perciò, l'insieme non è un reticolo.