Dimostrare per induzione

[fabry881]

Ciao a tutti, qualcuno potrebbe aiutarmi a dimostrare questa proprietà?

Dimostrare per induzione che per ogni $n>=0$ si ha: $F_n>=A^(n-2)$
dove $F_n$ è il generico numero di Fibonacci e A è la sezione aurea $A=(sqrt(5)+1)/2$

Grazie in anticipo!

[dan952]

Controlla prima i casi base con $n=0$ e $n=1$, poi proseguiamo insieme...

$F_0 \geq A^{-2}$?
$F_1 \geq A^{-1}$?

[fabry881]

Grazie per la risposta, allora provo:

Base $n=0$
$F_0>=((sqrt(5)+1)/2)^-2$
$1>=1/(((sqrt(5)+1)/2)^2)$
che è vera perchè $sqrt(5)>2$ ⇒ $sqrt(5)+1>2$ ⇒ $(sqrt(5)+1)/2>1$ ⇒ $((sqrt(5)+1)/2)^2>1$ ⇒ $1/(((sqrt(5)+1)/2)^2)<1$

E' corretto per ora? Proseguo con il passo?

[fabry881]

Dimenticavo l'altro caso base:

$n=1$:
$F_1>=((sqrt(5)+1)/2)^-1$
$1>=1/((sqrt(5)+1)/2)$
che è vera perchè sappiamo che $(sqrt(5)+1)/2 > 1 ⇒ 1/((sqrt(5)+1)/2) < 1$

[dan952]

Perfetto...

Quindi supponiamo che valga per i primi $n$ interi, allora dimostriamo che vale per $n+1$.

Ipotesi induttiva:
$F_n \geq A^{n-2}$ segue $F_{n+1}=F_n+F_{n-1} \geq A^{n-2}+A^{n-3}$
Ora proviamo a dimostrare che $A^{n-2}+A^{n-3}=A^{n-3}(A+1)=A^{n-1}$. Sappiamo che $A^2=A+1$ quindi $A^{n-3}(A+1)=A^{n-1}$, da cui segue la tesi.

[fabry881]

A ecco, in effetti era molto facile. Ti ringrazio per l'aiuto.