Dimostrare ingettività e suriettività
come faccio, data una funzione, a dimostare che essa è invertibile, quindi contemporaneamente ingettiva e surgettiva senza che disegni il grafico di essa??
Risposte
Occorre che, appunto, imposti la condizione affinchè ci sia iniettività e suriettività, quindi devi conoscere la definizione.
Penso che sarebbe bene lavorare su un esempio.
Prova a postarlo.
Benvenuto nel forum.
Penso che sarebbe bene lavorare su un esempio.
Prova a postarlo.
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le condizioni ce le ho in mente in maniera perfetta, o almeno credo.
per esempio..
f(x) definita da R in R = 2x + 3
essa è ingettiva perchè somma di funzioni monotone, ma perchè è suriettiva??
cioè, so che non esiste un numero y in R che non abbia il suo corrispondente valore in x.
ma come dimostrare questo??
forse perchè il codominio è tutto l'insieme dei numeri reali, senza alcuna eccezione??
per esempio..
f(x) definita da R in R = 2x + 3
essa è ingettiva perchè somma di funzioni monotone, ma perchè è suriettiva??
cioè, so che non esiste un numero y in R che non abbia il suo corrispondente valore in x.
ma come dimostrare questo??
forse perchè il codominio è tutto l'insieme dei numeri reali, senza alcuna eccezione??
Una prima osservazione: la somma di due funzioni monotone (in generale) non è monotona: pensa a $f(x)=x^3$ e $g(x)=-x$. Entrambe sono monotone, ma $(f+g)(x)=x^3-x$ non lo è assolutamente (come puoi constatare da un qualunque grafico). Perché questa condizione valga bisogna supporre che siano entrambe strettamente crescenti o strettamente decrescenti.
In ogni caso, per $f(x)=2x+3$, l'iniettività vale. Infatti, supponiamo $x_1!=x_2$; allora: $2x_1!=2x_2 rarr 2x_1+3!=2x_2+3$, ossia ad elementi distinti corrispondono immagini distinte.
Per calcolare la suriettività, invece, la questione è un po' più delicata. Operativamente possiamo procedere comunque in questo modo. Fissiamo $y \in RR$ (perché il codominio è $RR$) e risolviamo $y=2x+3$ rispetto ad $x$; se otteniamo un valore per $x$ e tale valore è unico, allora si può concludere che la funzione di partenza è suriettiva. Altrimenti, mentre si ricava l'inversa, si dovrebbe essere costretti a porre delle limitazioni ad y, oppure si dovrebbero trovare per determinati y più valori di x che soddisfano la richiesta.
In ogni caso, per $f(x)=2x+3$, l'iniettività vale. Infatti, supponiamo $x_1!=x_2$; allora: $2x_1!=2x_2 rarr 2x_1+3!=2x_2+3$, ossia ad elementi distinti corrispondono immagini distinte.
Per calcolare la suriettività, invece, la questione è un po' più delicata. Operativamente possiamo procedere comunque in questo modo. Fissiamo $y \in RR$ (perché il codominio è $RR$) e risolviamo $y=2x+3$ rispetto ad $x$; se otteniamo un valore per $x$ e tale valore è unico, allora si può concludere che la funzione di partenza è suriettiva. Altrimenti, mentre si ricava l'inversa, si dovrebbe essere costretti a porre delle limitazioni ad y, oppure si dovrebbero trovare per determinati y più valori di x che soddisfano la richiesta.
"maurer":
Fissiamo $y \in RR$ (perché il codominio è $RR$) e risolviamo $y=2x+3$ rispetto ad $x$; se otteniamo un valore per $x$ e tale valore è unico, allora si può concludere che la funzione di partenza è suriettiva.
Non serve che sia unico, basta che esista.
Ooops, scusate! E' stata una svista...
L'iniettività è (generalmente) abbastanza facile da dimostrare.
Ti faccio un esempio pratico:
$f(x) = x^2 + x + 5$, $x \in N$
(Una funzione è iniettiva se e solo se, come ha detto Maurer, $x != y \Rightarrow f(x) != f(y) $. Questo è equivalente a dire $f(x) = f(y) \Rightarrow x = y $.)
Tornando all'esempio, per dimostrare che quella funzione è iniettiva poni le immagini uguali:
$ f(x) = f(y) $
$x^2 + x + 5 = y^2 + y + 5$
$x^2 + x = y^2 + y$
$x^2 - y^2 +x -y = 0$
$(x+y)(x-y) + (x-y) = 0$
$(x-y)(x+y+1) = 0$
$x - y = 0 \Rightarrow x = y$
$x + y + 1 = 0 \Rightarrow $ assurdo in quanto $x,y \in N$.
Quindi $ f(x) = f(y) \Rightarrow x = y$ da cui l'iniettività.
Ti faccio un esempio pratico:
$f(x) = x^2 + x + 5$, $x \in N$
(Una funzione è iniettiva se e solo se, come ha detto Maurer, $x != y \Rightarrow f(x) != f(y) $. Questo è equivalente a dire $f(x) = f(y) \Rightarrow x = y $.)
Tornando all'esempio, per dimostrare che quella funzione è iniettiva poni le immagini uguali:
$ f(x) = f(y) $
$x^2 + x + 5 = y^2 + y + 5$
$x^2 + x = y^2 + y$
$x^2 - y^2 +x -y = 0$
$(x+y)(x-y) + (x-y) = 0$
$(x-y)(x+y+1) = 0$
$x - y = 0 \Rightarrow x = y$
$x + y + 1 = 0 \Rightarrow $ assurdo in quanto $x,y \in N$.
Quindi $ f(x) = f(y) \Rightarrow x = y$ da cui l'iniettività.
Non serve che sia unico, basta che esista.
potresti spiegarmi meglio perchè hai detto ciò?[/quote]
"Hop Frog":Non serve che sia unico, basta che esista.
potresti spiegarmi meglio perchè hai detto ciò?
Martino si riferiva alla suriettività di un'applicazione: la controimmagine di un elemento non deve essere unica affinchè l'applicazione sia suriettiva, basta che non sia vuota. Mi spiego meglio: se prendi la funzione $f:RR->[0, +oo)$ così definita: $f(x)=x^2$, questa è suriettiva, perchè per ogni $y in [0, +oo)$ trovi almeno un numero reale (qui ne trovi ben due: $+-sqrty$!) che elevato al quadrato ti restituisce $y$. Spero di essermi spiegato.
Se hai dubbi dillo pure.
accipicchia è vero!
avevo frainteso perchè pensavo contemporaneamente alla suriettività e all iniettività, quindi pensavo che per dm la suriettività la controimmagine dovesse essere unica.
Effettivamente se devo dimostrare SOLO la sur. allora basta che vi sia una controimmagine, giusto.
thanks.
avevo frainteso perchè pensavo contemporaneamente alla suriettività e all iniettività, quindi pensavo che per dm la suriettività la controimmagine dovesse essere unica.
Effettivamente se devo dimostrare SOLO la sur. allora basta che vi sia una controimmagine, giusto.
thanks.
De nada, figurati. 
posso porre a voi gentili partecipanti a questo forum un problema riguardo suriettività e invertibilità di una funzione?
io non so risolverlo e vorrei il vostro aiuto
sia $h(x)=(x+1)e^(x)^2$
dimostrare che la funzione $h$ è suriettiva su $R$ e invertibile su tutto il dominio
non ho ben chiaro che operazioni devo effettuare per rispondere a questo quesito
so che l'invertibiltà dipende dal fatto che la funzione è iniettiva e suriettiva allo stesso tempo.
ma come procedere? inoltre il dominio di $h$ non è tutto $R$? perchè si parla allora di suriettività su $R$ e invertibilità su tutto il dominio?
grazie a chiunque voglia darmi una mano
io non so risolverlo e vorrei il vostro aiuto
sia $h(x)=(x+1)e^(x)^2$
dimostrare che la funzione $h$ è suriettiva su $R$ e invertibile su tutto il dominio
non ho ben chiaro che operazioni devo effettuare per rispondere a questo quesito
so che l'invertibiltà dipende dal fatto che la funzione è iniettiva e suriettiva allo stesso tempo.
ma come procedere? inoltre il dominio di $h$ non è tutto $R$? perchè si parla allora di suriettività su $R$ e invertibilità su tutto il dominio?
grazie a chiunque voglia darmi una mano
[mod="Martino"]@isolamaio: per favore apri un nuovo argomento per il tuo problema. Inoltre posta in analisi, non in algebra. Grazie.[/mod]
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