Dimostrare i contenimenti degli insiemi

[fabioz96]

Salve,
Dovrei dimostrare alcune relazioni fra insiemi:

Sia l'insieme $A = {x in Z ,t.c. x= (n+2)/(n-1), n in Z , t.c. -2<= n <1}$

1) Dire se $A = {0, -2}$
2) Se $0 in A$
3) Se ${0, -2} sub P(A)$
4) ${0, -2} sube A$
5) Se ${{0},{-2}} in P(A)$
Dove $P(A)$ è l'insieme delle parti

Grazie

[billyballo2123]

1) Sì
2) Sì
3) No
4) Sì
5) No
(basta che sia sì la prima, e automaticamente sono sì anche la seconda e la quarta). La terza e la quinta sono no perché
\[
P(A)=\big\{\varnothing, \{0\},\{-2\},\{0,-2\}\big\}.
\]

[fabioz96]

Grazie della risposta.
Ma nella 3, il contenuto stretto non significa che tutti gli elementi di X sono contenuti in Y e ci sono elementi in Y non contenuti in X?
In questo caso perché è falsa?
Nella 5, l'insieme -2 e l'insieme 0 non appartengono all'insieme potenza?

In ogni caso, come si fa a dimostrare che un numero appartiene ad un insieme: cioè è già evidente.

[billyballo2123]

"fabioz96":
Ma nella 3, il contenuto stretto non significa che tutti gli elementi di X sono contenuti in Y e ci sono elementi in Y non contenuti in X?
In questo caso perché è falsa?

Ti ho scritto chi è $P(A)$: ti sembra che in $P(A)$ ci sia IL SOTTOINSIEME $\{0,-2\}$? No! C'è solo L'ELEMENTO $\{0,-2\}$. Al massimo sarebbe stato corretto scrivere
\[
\big\{\{0,-2\}\big\}\subset P(A)\qquad \text{o}\qquad \big\{\{0\},\{-2\}\big\}\subset P(A).
\]

"fabioz96":
Nella 5, l'insieme -2 e l'insieme 0 non appartengono all'insieme potenza?

Sì, l'insieme $\{-2\}$ e l'insieme $\{0\}$ appartengono all'insieme potenza, dunque sarebbe corretto scrivere
\[
\big\{\{0\},\{-2\}\big\}\subset P(A)
\]
e non
\[
\big\{\{0\},\{-2\}\big\}\in P(A),
\]
infatti quest'ultimo non compare negli elementi dell'insieme potenza.

"fabioz96":
In ogni caso, come si fa a dimostrare che un numero appartiene ad un insieme: cioè è già evidente.

Basta guardare la definizione di $A$ per capire che per $n=-2$, $x={-2+2}/{-2-1}=0$, dunque $0\in A$, per $n=-1$ $x={-1+2}/{-1-1}=-1/2$ (che non appartiene ad $A$ perché è richiesto $x\in\mathbb{Z}$), e infine per $n=0$ $x={0+2}/{0-1}=-2$, dunque $-2\in A$. Questi sono tutti gli elementi di $A$, dato che deve essere $-2\leq n<1$e $n\in\mathbb{Z}$ (cioè $n=-2,-1,0$).