Dimostrare con il principio di induzine
Mi occorre dimostrare per induzione che la somma dei primi numeri naturali dispari è uguale a
$(n(2n-1)(2n+1))/3 $ ma la formula mi sembra incompleta.
Chi mi può scrivere la formula usando il simbolo di sommatoria....in questa formula manca la prima parte cioè:$1^2+3^2+5^2$ e poi chi ci va? Io pensavo
+$(2n-1)^2$ che sarebbe un altro numero dispari...ma ho dubbi.
Qiundi la formula completa sarebbe: $1^2+3^2+5^2+...+(2n-1)^2$=$(n(2n-1)(2n+1))/3 $
Ma di solito non c'è il simbolo di sommatoria?
Per $n=1$ è banalmente verificata ma supposto vero P(n) non so continuare
$(n(2n-1)(2n+1))/3 $ ma la formula mi sembra incompleta.
Chi mi può scrivere la formula usando il simbolo di sommatoria....in questa formula manca la prima parte cioè:$1^2+3^2+5^2$ e poi chi ci va? Io pensavo
+$(2n-1)^2$ che sarebbe un altro numero dispari...ma ho dubbi.
Qiundi la formula completa sarebbe: $1^2+3^2+5^2+...+(2n-1)^2$=$(n(2n-1)(2n+1))/3 $
Ma di solito non c'è il simbolo di sommatoria?
Per $n=1$ è banalmente verificata ma supposto vero P(n) non so continuare
Risposte
$n=1$ ovvio.
Supponi vero P(n) cioè $\sum_{k=1}^n (2k-1)^2=\frac{n(2n-1)(2n+1)}{3}$.
Provi che vale anche P(n+1). Allora $\sum_{k=1}^{n+1} (2k-1)^2=\sum_{k=1}^n (2k-1)^2 + (2(n+1)-1)^2$. Siccome P(n) è vero segue che $\sum_{k=1}^n (2k-1)^2 + (2(n+1)-1)^2= \frac{n(2n-1)(2n+1)}{3} + (4n^2+4n+1)=$ svolgendo tutti i conti
$\frac{4n^3+12n^2+11n+3}{3}$ ora dividi $4n^3+12n^2+11n+3$ per $n+1$ e ottieni che $4n^3+12n^2+11n+3=(n+1)(4n^2+8n+3)$. Ora dividi $4n^2+8n+3$ per $2n+1$ e ottieni $4n^2+8n+3=(2n+1)(2n+3)$. Quindi mettendo insieme tutti i pezzi ottieni che $\sum_{k=1}^{n+1} (2k-1)^2=\frac{(n+1)(2n+1)(2n+3)}{3}$ che è proprio P(n+1)
Supponi vero P(n) cioè $\sum_{k=1}^n (2k-1)^2=\frac{n(2n-1)(2n+1)}{3}$.
Provi che vale anche P(n+1). Allora $\sum_{k=1}^{n+1} (2k-1)^2=\sum_{k=1}^n (2k-1)^2 + (2(n+1)-1)^2$. Siccome P(n) è vero segue che $\sum_{k=1}^n (2k-1)^2 + (2(n+1)-1)^2= \frac{n(2n-1)(2n+1)}{3} + (4n^2+4n+1)=$ svolgendo tutti i conti
$\frac{4n^3+12n^2+11n+3}{3}$ ora dividi $4n^3+12n^2+11n+3$ per $n+1$ e ottieni che $4n^3+12n^2+11n+3=(n+1)(4n^2+8n+3)$. Ora dividi $4n^2+8n+3$ per $2n+1$ e ottieni $4n^2+8n+3=(2n+1)(2n+3)$. Quindi mettendo insieme tutti i pezzi ottieni che $\sum_{k=1}^{n+1} (2k-1)^2=\frac{(n+1)(2n+1)(2n+3)}{3}$ che è proprio P(n+1)
Grazie per l'aiuto...ti chiedo se conosci un libro dove ci sono esempi per induzione.
E' vero comunque che tutti gli enunciati dimostrabili per induzione sono stati già dimostrati da algebristi?
Nel senso che la dimostrazione esiste già, noi la dobbiamo solo imparare...
Ho molte formule da dimostrare e non ho trovato nulla in giro:
Se q è un numero reale diverso da 1, allora
$1+2q+3q^2+...nq^(n-1)=(1-(n+1)q^n+nq^(n+1))/(1-q)^2$
grazie per la collaborazione
E' vero comunque che tutti gli enunciati dimostrabili per induzione sono stati già dimostrati da algebristi?
Nel senso che la dimostrazione esiste già, noi la dobbiamo solo imparare...
Ho molte formule da dimostrare e non ho trovato nulla in giro:
Se q è un numero reale diverso da 1, allora
$1+2q+3q^2+...nq^(n-1)=(1-(n+1)q^n+nq^(n+1))/(1-q)^2$
grazie per la collaborazione
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