Dimostrare che un'estensione è algebrica

[otta96]

C'è un problema di estensioni di campi che non riesco a risolvere, sebbene dovrebbe essere facile (a quanto dice il mio professore), perciò vi chiedo aiuto. Consideriamo un campo $F$ e il campo delle funzioni razionali a coefficienti in $F$, $F(x)$ prendiamo adesso un campo $K$ diverso da $F$ tale che $F<=K<=F(x)$, dimostrare che l'estensione $F(x)|K$ è algebrica.
Io sono partito considerando un elemento di $K-F$ che sicuramente esiste e sarà della forma $f/g$ dove $f,g\inF[x]$ e stavo cercando un polinomio in $K[x]$ che avesse come radice la $x$, ma mi sono bloccato.

[Pappappero1]

Bisogna stare attenti a non confondersi con la variable $x$ e la variable di un anello di polinomi su $K$, chiamiamola $T$.

Prendi un elemento $\alpha$ in $K$, con $\alpha \notin F$. L'idea e' trovare un polinomio $f$ in $T$ cui coefficienti sono in $F(\alpha)$ e tale che $f$ valutato in $T = x$ faccia $0$.

Idee?

[otta96]

Purtroppo no, quello che mi viene in mente è solo quello che avevo già scritto alla fine del primo post.

[killing_buddha]

C'è un fatto classico che ci somiglia molto: chiaramente la cosa più semplice che puoi fare è aggiungere a $F$ un elemento $\gamma\in E=F(X)$ e sperare che l'estensione $E|F(\gamma)$ sia algebrica. Se questo succede per ogni $\gamma$, tutti a casa. Si può in effetti dimostrare che

dato $\gamma \in F(X)$, chiaramente \(\gamma = \frac{p(X)}{q(X)}\) per due polinomi $p,q\in F[X]$ (il secondo non nullo), che possiamo anche supporre coprimi. Allora $a(X,Y)=p(X) − q(X)Y$ è un polinomio irriducibile in $K[X,Y]$, in modo tale che
\[
[E : F(\gamma)]= \max\{\deg(p), \deg(q)\}
\]

[e3353cdc139f9576d1418ef5ef3cff2aac614a86]

"otta96":Io sono partito considerando un elemento di $K-F$ che sicuramente esiste e sarà della forma $f/g$ dove $f,g\inF[x]$ e stavo cercando un polinomio in $K[x]$ che avesse come radice la $x$, ma mi sono bloccato.

Se $t=f(x)/g(x)$ appartiene a $K$ ma non a $F$ allora $x$ è radice di $g(X)t-f(X)$...

[otta96]

Oggi l'ho risolto in effetti e la soluzione che ho trovato è proprio quella detta da Martino e killing_buddha, grazie comunque.
Volevo chiedervi un'altra cosa: quando avevo scritto il primo messaggio avevi provato a scrivere gli $F$ e i $K$ "con le doppie stanghette" (come $RR$ o $ZZ$), ma non me lo ha preso, come si fa in generale?

[e3353cdc139f9576d1418ef5ef3cff2aac614a86]

[inline][tex]\mathbb{F}[/tex][/inline] dà [tex]\mathbb{F}[/tex]

[otta96]

Grazie.