Dimostrare che una relazione è di equivalenza
Se in un insieme I, definisco la relazione ki~kj se esiste un g appartenente a un gruppo finito G tale che kj=g*ki , come faccio a dimostrare che è una classe di equivalenza? dovrei dimostrare la proprietà transitiva, simmetrica e riflessiva... nelle relazioni di equivalenza modulo.. sò come si procede ma in questo caso non saprei in quanto non ho un esempio simile, qualcuno può darmi una mano?
Risposte
Ciao!
Non ho capito una cosa: con $*$ intendi l'operazione del gruppo? Cioè tu dici: prendiamo un gruppo moltiplicativo $G,*$ e un insieme $I$. Definisco su $I$ la relazione $x rho y iff EE g in G " tale che " y = gx$, per ogni $x,y in I$.
E' così l'esercizio? Tu vuoi provare che la $rho$ è d'equivalenza: non mi pare complesso: dove ti incarti? Bisogna provare le tre proprietà...
P.S. Perchè non usi anche tu le formule come ho fatto io? Basta mettere il simbolo di dollaro prima della formula
Così è tutto più chiaro
Non ho capito una cosa: con $*$ intendi l'operazione del gruppo? Cioè tu dici: prendiamo un gruppo moltiplicativo $G,*$ e un insieme $I$. Definisco su $I$ la relazione $x rho y iff EE g in G " tale che " y = gx$, per ogni $x,y in I$.
E' così l'esercizio? Tu vuoi provare che la $rho$ è d'equivalenza: non mi pare complesso: dove ti incarti? Bisogna provare le tre proprietà...
P.S. Perchè non usi anche tu le formule come ho fatto io? Basta mettere il simbolo di dollaro prima della formula
Così è tutto più chiaro
Si l'esercizio è questo, in pratica è una parte della dimostrazione del Teorema di Sylow, in cui dà per scontato che quella è una relazione di equivalenza, ossia non lo dimostra, e visto che non ho ben capito come si dimostra e vorrei farlo ho chiesto aiuto ^_^
Iniziamo, prendiamo la proprietà riflessiva, devo dimostrare che g è in relazione con sè stesso, partendo da kj = g * ki. Il problema è ora come procedere, se prendo un g1 appartenente a G, per dimostrare che è in relazione riflessiva con quel g ?
Iniziamo, prendiamo la proprietà riflessiva, devo dimostrare che g è in relazione con sè stesso, partendo da kj = g * ki. Il problema è ora come procedere, se prendo un g1 appartenente a G, per dimostrare che è in relazione riflessiva con quel g ?
"Lady_chaos":
Iniziamo, prendiamo la proprietà riflessiva, devo dimostrare che g è in relazione con sè stesso, partendo da kj = g * ki. Il problema è ora come procedere, se prendo un g1 appartenente a G, per dimostrare che è in relazione riflessiva con quel g ?
Occhio!
Tu non devi mostrare che $g$ è in relazione con qualcuno! La tua relazione è definita su $I$! Cioè tu devi mostrare che, preso un $x in I$, hai $x rho x$: quindi, devo far vedere che esiste un elemento $g in G$ tale che $x=gx$: se prendi $g=1_G$ (che sta in $G$ per definizione di gruppo), sei a posto.
Più chiaro ora? Hai capito come procedere? Prova un po' a mostrare le altre due proprietà e se hai ancora bisogno fai un fischio
Giusto !!! quindi per la proprietà commutativa devo dimostrare che esiste un g appartemente a G per cui y=g1x partendo da x=gy ... e prendendo l'elemento inverso che per definizione di gruppo sta in G ho che da x=gy segue che g^(-1)x = g^(-1)gy da cui segue che y=g^(-1)x ... giusto ?
Sì, giusto. Probabilmente, però, volevi dire proprietà "simmetrica" (non commutativa).
E per la transitiva che mi dici?
E per la transitiva che mi dici?
Si esatto simmetrica, per la transitiva devo dimostrare che se x è in relazione in y e y è in relazione con k allora x è in relazione con k .
se x è in rel con y allora x=gy con x,y appertenenti ad I e g appartenente a G
se y è in rel con k allora y=g1k con y,k app ad I e g1 app a G
dunque : x=gy da cui g^(-1)x = g^(-1)gy da cui g^(-1)x=g1k da cui x=gg1k gg1 appartiene a G quindi è dimostrato ^_^
Poi una domanda se prendo H insieme di tutti i g appartenenti a G tali che gk1=ki ... come faccio a dimostrare che è chiso rispetto al prodotto?
se x è in rel con y allora x=gy con x,y appertenenti ad I e g appartenente a G
se y è in rel con k allora y=g1k con y,k app ad I e g1 app a G
dunque : x=gy da cui g^(-1)x = g^(-1)gy da cui g^(-1)x=g1k da cui x=gg1k gg1 appartiene a G quindi è dimostrato ^_^
Poi una domanda se prendo H insieme di tutti i g appartenenti a G tali che gk1=ki ... come faccio a dimostrare che è chiso rispetto al prodotto?
Abbi pazienza, ma se non usi le formule non capisco più niente.
Secondo me (sempre che io abbia capito bene ciò che intendi) è più semplice ancora la transitiva: sia $x = gy$ e $y=hz$, con $g,h in G$; segue subito $x=g(hz)=kz$ dove $k":"=gh \in G$.
Secondo me (sempre che io abbia capito bene ciò che intendi) è più semplice ancora la transitiva: sia $x = gy$ e $y=hz$, con $g,h in G$; segue subito $x=g(hz)=kz$ dove $k":"=gh \in G$.
Si hai ragione rileggendo ci ho capito poco anche io ^_^ mi puoi aiutare con l'altra dimostrazione e spiegarmi come funzionano le formule con $ ?
Per le formule devi solo cliccare sopra la parola.... formule ! 
P.S. Per l'altra dimostrazione, dopo aver letto come si scrivono le formule, prova a riscrivere l'enunciato perchè non lo capisco
P.S. Per l'altra dimostrazione, dopo aver letto come si scrivono le formule, prova a riscrivere l'enunciato perchè non lo capisco
Se considero questo insieme:
$ H = { g in G | gk_1=k_i} $
Come faccio a dimostrare che è sottogruppo di $G$ ?
è ovviamente non vuoto ma come faccio per dimostrare che è chiuso rispetto al prodotto?
$ H = { g in G | gk_1=k_i} $
Come faccio a dimostrare che è sottogruppo di $G$ ?
è ovviamente non vuoto ma come faccio per dimostrare che è chiuso rispetto al prodotto?
Forse volevi dire $gk_1=k_1$? Altrimenti chi è $i$? Come varia?
Brava per le formule, grazie per la comprensione. Ancora una cosa: conosci le azioni di gruppo?
Brava per le formule, grazie per la comprensione. Ancora una cosa: conosci le azioni di gruppo?
allora $i| 2<=i<=n$ ma effettivamente mi sorge anche a me il dubbio che ci sia un errore perchè $i$ lo definisce dopo dicendo che $EE g_i in G| k_i=g_i k_1 $ . Comunque nel caso $gk_1=k_i$ come faccio a dimostrarlo
Senti, che ne dici di provare a riscrivere tutto per bene?
Questa storia del sottogruppo $H$ non riesco a capirla.
Questa storia del sottogruppo $H$ non riesco a capirla.
Ma in generale come si fa a dimostrare che un insieme è chiso rispetto al prodotto ?
Be', per mostrare che è un sottogruppo non basta che sia chiuso rispetto al prodotto.
Sia $G$ un gruppo e $H$ un sottoinsieme di $G$. $H$ è un sottogruppo di $G$ se e solo se, presi comunque $a,b in H$ si ha $ab^{-1} in H$.
Sia $G$ un gruppo e $H$ un sottoinsieme di $G$. $H$ è un sottogruppo di $G$ se e solo se, presi comunque $a,b in H$ si ha $ab^{-1} in H$.
se ho $ H = ginG | gx=x $ come faccio a dimostrare che è chiuso rispetto al prodotto?
prendo $x,yinH$ e poi?
prendo $x,yinH$ e poi?
"Lady_chaos":
se ho $ H = ginG | gx=x $ come faccio a dimostrare che è chiuso rispetto al prodotto?
prendo $x,y in H$ e poi?
Permettimi, il tuo problema è molto poco chiaro. Non si capisce bene chi è $x$. In Matematica, bisogna essere precisi (con il rischio di essere pignoli e rompiscatole come il sottoscritto).
Per questa volta ci provo io, ma non sicuro di dimostrare ciò che vuoi tu. Prendi $x in G$, $x$ fissato. Preso il sottoinsieme $ H ={g in G " tali che " gx=x} subseteq G$, vogliamo provare che $H
Si fa così: presi $g,h in H$ si vuole provare che $gh^{-1} in H$. Dire $g,h in H$ equivale a $gx=x$ e $hx=x$. E' facile vedere che da quest'ultima uguaglianza segue $x=h^{-1}x$.
Considera allora $gh^{-1}$: se proviamo che sta in $H$ siamo a posto. $(gh^{-1})x=g(h^{-1}x)=gx=x$ che è la tesi. []
Ti faccio notare che essendo un sottogruppo, $H$ è automaticamente chiuso rispetto al prodotto.
P.S. Ripeto la mia domanda: conosci le azioni di gruppo? Quel sottoinsieme lì, per come lo abbiamo definito, è lo stabilizzatore di $x$ rispetto all'azione di $G$ su se stesso data dalla moltiplicazione a sinistra. E quindi è noto dalla teoria che è un sottogruppo.
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