Dimostrare che una matrice n x n è diagonalizzabile
Ciao a tutti e buone feste!
Il mio problema è questo: ho una matrice companion associata ad un polinomio e devo dimostrare che è diagonalizzabile. La matrice è n x n.
Nel caso di matrici semplici (es. 3x3) so come dimostrare se è diagonalizzabile o no (utilizzando ad esempio il fatto che ogni autovalore deve avere molteplicità algebrica = molteplicità geometrica), ma in questo sono in difficoltà.
Potete darmi una mano?
PS: la matrice in questione è questa:
dove gli elementi c sono i coefficienti del polinomio di grado n.
Il mio problema è questo: ho una matrice companion associata ad un polinomio e devo dimostrare che è diagonalizzabile. La matrice è n x n.
Nel caso di matrici semplici (es. 3x3) so come dimostrare se è diagonalizzabile o no (utilizzando ad esempio il fatto che ogni autovalore deve avere molteplicità algebrica = molteplicità geometrica), ma in questo sono in difficoltà.
Potete darmi una mano?
PS: la matrice in questione è questa:
dove gli elementi c sono i coefficienti del polinomio di grado n.
Risposte
Se ho capito bene vuoi dimostrare che la matrice $C_P$ che hai scritto è sempre diagonalizzabile. Bene, questo è falso.
Prendi per esempio $n=2$, $c_0=1$, $c_1=2$. Non è difficile mostrare che la matrice $C_P$ in questo caso non è diagonalizzabile.
Forse ti manca qualche ipotesi sul polinomio? Tipo che le radici sono distinte?
Prendi per esempio $n=2$, $c_0=1$, $c_1=2$. Non è difficile mostrare che la matrice $C_P$ in questo caso non è diagonalizzabile.
Forse ti manca qualche ipotesi sul polinomio? Tipo che le radici sono distinte?
Sì, scusa, mancava l'ipotesi che le radici sono distinte!
Allora ti basta mostrare che il polinomio caratteristico di $C_P$ è $P$. Infatti questo implica che tutte le molteplicità algebriche sono 1 quindi anche le geometriche. Prova.
Quello che è più interessante mostrare è che $P$ è anche il polinomio minimo di $C_P$.
Quello che è più interessante mostrare è che $P$ è anche il polinomio minimo di $C_P$.
Grazie per la rapida risposta! Vediamo se ho capito: gli autovalori di $C_p$ sono gli zeri di $P$. Essendo gli zeri di $P$ distinti per ipotesi, gli autovalori di $C_p$ sono distinti, ovvero ognuno ha molteplicità algebrica = 1.
Per quanto riguarda la molteplicità geometrica di un autovalore $\lambda$: questa è definita come la dimensione di $C_p - rango(C_p - \lambda * I)$. Se il rango = n-1 allora la molteplicità geometrica = 1 = molteplicità algebrica.
Se così fosse, come mai $rango = n-1$? Oppure c'è un ragionamento più semplice o comunque diverso per dire che la molteplicità geometrica di ogni autovalore è 1?
Per quanto riguarda la molteplicità geometrica di un autovalore $\lambda$: questa è definita come la dimensione di $C_p - rango(C_p - \lambda * I)$. Se il rango = n-1 allora la molteplicità geometrica = 1 = molteplicità algebrica.
Se così fosse, come mai $rango = n-1$? Oppure c'è un ragionamento più semplice o comunque diverso per dire che la molteplicità geometrica di ogni autovalore è 1?
Detta $m_a$ la molteplicità algebrica di un autovalore $\lambda$ e $m_g$ la sua molteplicità geometrica, si ha ovviamente $m_g \geq 1$ (essendo $\lambda$ un autovalore) e la teoria ti dice che $m_g \leq m_a$ (è una disuguaglianza basilare e credo che la conosci). Ma allora se $m_a=1$ succede che $1 \leq m_g \leq m_a =1$ e quindi $m_g=1$. Quindi $m_g=1=m_a$.
Perfetto, grazie mille! Ho capito!
Buona serata!
Buona serata!
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