Dimostrare che un sottogruppo è normale.

[Rosy19931]

Ciao a tutti! Da un paio di giorni mi sono imbattuta in un esercizio in cui sto trovando difficoltà, e volevo proporvelo.

Dimostrare che l'insieme \(\displaystyle X = { 1, (12)(34), (13)(24), (14)(23) }\) è un sottogruppo di \(\displaystyle A_4\) normale in \(\displaystyle S_4 \) ed isomorfo a \(\displaystyle V_4 \).

Dimostrarlo "empiricamente" vorrebbe dire fare i coniugati degli elementi di \(\displaystyle X \) con gli elementi di \(\displaystyle S_4 \), ma mi chiedevo se c'è qualcosa che mi sfugge che permette di arrivarci in modo più veloce. Inoltre mi chiedevo se una volta dimostrata la normalità di \(\displaystyle X \) nel gruppo \(\displaystyle S_4 \), \(\displaystyle X \) risulta normale anche nel gruppo alterno \(\displaystyle A_4 \).

Grazie in anticipo a chi mi aiuterà, buona algebra a tutti!

[totissimus]

[asvg]noaxes();
rect([-4,-3],[4,3]);
text([-4,-3],"4",belowleft);
text([4,-3],"3",belowright);
text([4,3],"2",aboveright);
text([-4,3],"1",aboveleft);[/asvg]

Il gruppo \( V_4\) delle simmetrie del rettangolo è costituito da:

1) identità;

2) ribaltamento attorno all'asse mediano verticale : (12)(34)

3) ribaltamento attorno all'asse mediano orizzontale : (14)(23)

4) ribaltamento attorno all'asse mediano orizzontale seguito da ribaltamento attorno all'asse mediano orizzontale : (13)(24)

Ovviamente \(V_4 \) è gruppo commutativo , sottogruppo di \( S_4 \) e coincide con \(X\).

Teorema
Se \( \sigma \in S_n\) e \( \gamma \in S_n \) è decomposto in cicli:\( \gamma=(a_1...a_k) (b_1..b_h)...(c1..c_t)\) allora: \( \sigma \gamma \sigma^{-1}=(\sigma(a_1)...\sigma(a_k))(\sigma(b_1)...\sigma(b_h))...(\sigma(c_1)...\sigma(c_t))\).

Quindi coniugando un elemento \( \gamma =(ab)(cd) \in V_4\) con \( \sigma \in S_4\) otteniamo:

\( \sigma \gamma \sigma^{-1}=(\sigma(a) \sigma(b))(\sigma(c) \sigma(d)) \in V_4\)

Quindi \( X=V_4\) è normale in \( S_4\).