Dimostrare che un numero non è razionale
$ root(3)((2)) $
Usando il lemma : se un numero primo è divisore del prodotto ab, deve essere divusore o di a o di b , perché:
$ 1=ka+lp$
$b=kab +lpb$
$ab=pr$
$b=kpr+lpb=p (kr+lb) $
Usando il lemma : se un numero primo è divisore del prodotto ab, deve essere divusore o di a o di b , perché:
$ 1=ka+lp$
$b=kab +lpb$
$ab=pr$
$b=kpr+lpb=p (kr+lb) $
Risposte
Chi mi da una mano?
La dimostrazione procede per assurdo.
Sia per assurdo \( \sqrt[3]{2} \) un numero razionale. Allora esistono \( a \) e \( b \) interi tali che \( \displaystyle \sqrt[3]{2} = \frac{a}{b} \) con \( a \) e \( b \) tali che \( \operatorname{gcd}(a,b) = 1 \). Ma allora \( a^{3} = 2 \cdot b^{3} \), da cui \( a \mid 2 \cdot b^{3} \) perché \( a \mid a^{3} \). Ora: o \( a \) è primo, oppure \( a \) è composto. In entrambi i casi si perviene ad un assurdo perché...
Credo che a questo punto tu sia in grado di concludere.
Sia per assurdo \( \sqrt[3]{2} \) un numero razionale. Allora esistono \( a \) e \( b \) interi tali che \( \displaystyle \sqrt[3]{2} = \frac{a}{b} \) con \( a \) e \( b \) tali che \( \operatorname{gcd}(a,b) = 1 \). Ma allora \( a^{3} = 2 \cdot b^{3} \), da cui \( a \mid 2 \cdot b^{3} \) perché \( a \mid a^{3} \). Ora: o \( a \) è primo, oppure \( a \) è composto. In entrambi i casi si perviene ad un assurdo perché...
Credo che a questo punto tu sia in grado di concludere.
Non credo
Cioè mi viene in mente sfruttando il lemma solo:
Se a è divisore di $2 * b^(3) $, allora o è divisore di $2$ o è divisore di $b^(3) $
E poi boh, magari poiché si vede che $2$ è divisore di a, a non è divisore di 2, quindi è divisore di $b^3$ e quindi di $b $, quindi a e b hanno un fattore in comune.
Senza usare il lemma, ho provato:
$a=2k $
$a^(3)=8k $
$b^(3)*2=8k $
$b^(3)=4k $
Quindi a e b sono pari, quindi hanno 2 come fattore comune...
Un'altra dimostrazione che non riesco a fare è
$ sqrt(2) - sqrt(3) = $ numero irrazionale
Per assurdo
$ sqrt(3) =r-sqrt(2) $
$ 3=r^2 - 2 $
Cioè mi viene in mente sfruttando il lemma solo:
Se a è divisore di $2 * b^(3) $, allora o è divisore di $2$ o è divisore di $b^(3) $
E poi boh, magari poiché si vede che $2$ è divisore di a, a non è divisore di 2, quindi è divisore di $b^3$ e quindi di $b $, quindi a e b hanno un fattore in comune.
Senza usare il lemma, ho provato:
$a=2k $
$a^(3)=8k $
$b^(3)*2=8k $
$b^(3)=4k $
Quindi a e b sono pari, quindi hanno 2 come fattore comune...
Un'altra dimostrazione che non riesco a fare è
$ sqrt(2) - sqrt(3) = $ numero irrazionale
Per assurdo
$ sqrt(3) =r-sqrt(2) $
$ 3=r^2 - 2 $
La dimostrazione senza l'utilizzo del lemma va bene ed in generale è la strada che si percorre per provare che \( \sqrt[n]{n} \) è irrazionale.
La strada che si percorre con l'utilizzo di quel lemma non è molto differente.
Se \( a \mid 2 \cdot b^{3} \), allora esiste un primo \( p \) che divide \( 2 \cdot b^{3} \): tale primo \( p \) è \( a \) se \( a \) è primo, uno dei primi che compaiono nella fattorizzazione di \( a \) se questo è composto. Allora \( p \) divide almeno uno tra \( 2 \) e \( b^{3} \). Se \( p \mid b^{3} \), allora \( p \mid b \), il che significa che \( a \) e \( b \) non sono coprimi: assurdo. Se \( p \mid 2 \), allora \( p = 2 \), quindi \( a \) è pari, da cui la parità di \( b^{3} \), che implica la parità di \( b \) e quindi il fatto che \( a \) e \( b \) non sono coprimi: assurdo.
Per provare che \( \sqrt{2} - \sqrt{3} \) pure è irrazionale, tieni conto che la moltiplicazione è interna in \( \mathbb{Q} \), supponi per assurdo che \( \sqrt{2} - \sqrt{3} \) sia razionale e prova a vedere cosa succede se lo elevi al quadrato, i.e. se lo moltiplichi per sé stesso.
La strada che si percorre con l'utilizzo di quel lemma non è molto differente.
Se \( a \mid 2 \cdot b^{3} \), allora esiste un primo \( p \) che divide \( 2 \cdot b^{3} \): tale primo \( p \) è \( a \) se \( a \) è primo, uno dei primi che compaiono nella fattorizzazione di \( a \) se questo è composto. Allora \( p \) divide almeno uno tra \( 2 \) e \( b^{3} \). Se \( p \mid b^{3} \), allora \( p \mid b \), il che significa che \( a \) e \( b \) non sono coprimi: assurdo. Se \( p \mid 2 \), allora \( p = 2 \), quindi \( a \) è pari, da cui la parità di \( b^{3} \), che implica la parità di \( b \) e quindi il fatto che \( a \) e \( b \) non sono coprimi: assurdo.
Per provare che \( \sqrt{2} - \sqrt{3} \) pure è irrazionale, tieni conto che la moltiplicazione è interna in \( \mathbb{Q} \), supponi per assurdo che \( \sqrt{2} - \sqrt{3} \) sia razionale e prova a vedere cosa succede se lo elevi al quadrato, i.e. se lo moltiplichi per sé stesso.
Grazie! 
Proverò a fare la seconda dimostrazione, preciso che il libro mi anticipa che si troverebbe che $ sqrt(2) $ è razionale
Proverò a fare la seconda dimostrazione, preciso che il libro mi anticipa che si troverebbe che $ sqrt(2) $ è razionale
Seguendo la strada che ti ho indicato io, l'assurdo a cui si giunge non è che \( \sqrt{2} \) è razionale ma…
Se vuoi giungere all'assurdo suggerito dal testo allora supponi per assurdo che esista \( q \in \mathbb{Q} \) tale che \( \sqrt{2} - \sqrt{3} = q \), riscrivi il tutto come \( \sqrt{2} - q = \sqrt{3} \), eleva al quadrato ambo i lati e…
Se vuoi giungere all'assurdo suggerito dal testo allora supponi per assurdo che esista \( q \in \mathbb{Q} \) tale che \( \sqrt{2} - \sqrt{3} = q \), riscrivi il tutto come \( \sqrt{2} - q = \sqrt{3} \), eleva al quadrato ambo i lati e…
Riprendo questo dopo tanto tempo
Seguendo il libro: $ q^2-2qsqrt(2) =1 $
Seguendo l'altro : $ 5-2sqrt(6) =q^2 $
Seguendo il libro: $ q^2-2qsqrt(2) =1 $
Seguendo l'altro : $ 5-2sqrt(6) =q^2 $
Ricontrolla i conti. Poi vediamo come si conclude.
Ho trovato come errore solo un $ q $ al podto di un $q^2$ è l'ho corretto nel messaggio precedente
C'è un errore anche nel primo. Ricontrolla.
Purtroppo non riesco a trovare l'errore 
Hai ragione. Scusa. L'errore c'era solo nel secondo.
Allora.
Prendiamo il primo: \( q^{2} - 2q \sqrt{2} = 1 \). Si ricava
\[
\sqrt{2} = \frac{1 - q^{2}}{-2q} = \frac{q^{2} - 1}{2q}
\]
Ora: poiché \( q \in \mathbb{Q} \) e somme e prodotti di razionali sono razionali, risulta che \( \displaystyle \frac{q^{2} - 1}{2q} \in \mathbb{Q} \), quindi anche \( \sqrt{2} \) è razionale, il che è assurdo.
Similmente per il secondo, solo che l'assurdo è dovuto al fatto che a risultare razionale sarebbe \( \sqrt{6} \).
La scelta del tuo manuale non è tuttavia casuale: a rigor di logica, per poter legittimamente procedere nel secondo modo occorrerebbe aver prima provato che effettivamente \( \sqrt{6} \) è irrazionale.
Scusami ancora se ho insistito su un errore che in verità non avevi commesso.
Allora.
Prendiamo il primo: \( q^{2} - 2q \sqrt{2} = 1 \). Si ricava
\[
\sqrt{2} = \frac{1 - q^{2}}{-2q} = \frac{q^{2} - 1}{2q}
\]
Ora: poiché \( q \in \mathbb{Q} \) e somme e prodotti di razionali sono razionali, risulta che \( \displaystyle \frac{q^{2} - 1}{2q} \in \mathbb{Q} \), quindi anche \( \sqrt{2} \) è razionale, il che è assurdo.
Similmente per il secondo, solo che l'assurdo è dovuto al fatto che a risultare razionale sarebbe \( \sqrt{6} \).
La scelta del tuo manuale non è tuttavia casuale: a rigor di logica, per poter legittimamente procedere nel secondo modo occorrerebbe aver prima provato che effettivamente \( \sqrt{6} \) è irrazionale.
Scusami ancora se ho insistito su un errore che in verità non avevi commesso.
Non fa niente! Grazie! Non era difficile
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