Dimostrare che un Gruppo $G$ sia ciclico
Ho questo esercizio devo dimostrare che se $G$ è abeliano di ordine $110$ è ciclico.
Ho così argomentato
Non posso non notare che in $G$ esistono da Cauchy i seguenti sottogruppi di ordine rispettivamente $2,5,11$, cioè primi distinti, ciascuno di essi è ciclico (fatto noto).
Procedo per induzione se $G$ avesse ordine $2$ allora $G$ è ciclico, e questo è vero.
Passo induttivo - se $G$ di ordine $pq$ è ciclico allora vale anche per $pqr$ ed in generale per $n$ primi distinti.
Infatti consideriamo l'insieme quoziente $G/H_(pq)$ esso è abeliano e quindi ciclico, pertanto esisterà un generatore di tale gruppo che sarà $$ con $h in H_(pq)$ e $g in G$, l'ordine di $g$ è $>$ all'ordine di $h$ che è $pq$ e deve necessariamente essere un multiplo di $pq$ pari a $pqr$. Quindi in $G$ esiste un elemento di ordine $pqr$ cioè nel caso di ordine $2*5*11$ quindi posso concludere che $G$ è ciclico.
Mi sembra ok, ma vorrei un vostro parere.
Grazie
Ho così argomentato
Non posso non notare che in $G$ esistono da Cauchy i seguenti sottogruppi di ordine rispettivamente $2,5,11$, cioè primi distinti, ciascuno di essi è ciclico (fatto noto).
Procedo per induzione se $G$ avesse ordine $2$ allora $G$ è ciclico, e questo è vero.
Passo induttivo - se $G$ di ordine $pq$ è ciclico allora vale anche per $pqr$ ed in generale per $n$ primi distinti.
Infatti consideriamo l'insieme quoziente $G/H_(pq)$ esso è abeliano e quindi ciclico, pertanto esisterà un generatore di tale gruppo che sarà $
Mi sembra ok, ma vorrei un vostro parere.
Grazie
Risposte
Sempre l'esercizio mi chiede se $G$ non è abeliano
1) Provare che vi è un sottogruppo di ordine $55$ e che esso è unico di tale ordine
2) Se vi è un solo elemento di ordine $2$ quanti sono gli elementi di ordine $5$?
3) Se vi è un solo sottogruppo di ordine $5$ provare che vi è un elemento di ordine $55$
Risposta:
1) E' evidente che gli $11$-Sylow sono in numero pari a $1$ quindi il sottogruppo $H$ di ordine $11$ è normale, d'altra parte sappiamo da Cauchy che esiste un sottogruppo $K$ di ordine $5$. E' noto che il prodotto esterno di due sottogruppi di cui almeno uno normale genera un sottogruppo il cui ordine è il prodotto degli ordini, $H*K$ $=$ $HK_55$ quindi esiste un sottogruppo di ordine $55$. L'unicità è data dal fatto che il sottogruppo di ordine $55$ ha indice primo, più piccolo di tutti i primi in cui è possibile fattorizzare $110$ e cioè ha indice $2$, quindi è normale, quindi unico.
2) Se vi è un solo elemento di ordine $2$, allora i $5$-Sylow possono essere in numero pari a $1$ o a $11$, io escluderei $11$ perchè abbiamo detto che il sottogruppo di ordine $55$ è normale quindi rimane che il numero dei $5$-Sylow è $1$ e quindi gli elementi di ordine $5$ sono $4$ i numeri coprimi con $5$.
Tuttavia vado contro l'ipotesi che $G$ non è abeliano, e quindi dovrebbe essere il numero dei $5$ sylow pari a $11$ e quindi ci sono $44$ elementi di ordine $5$
Sono un po confuso.
3)l'ultimo punto mi crea ancora qualche perplessità.
Posso ipotizzare che se c'è un solo sottogruppo di ordine $5$ allora per HP esistono $11$ $2$-Sylow, ma da qui a capire perchè esiste un solo elemento di ordine $55$ non riesco.
Vorrei uin vostro aiuto o suggerimento.
1) Provare che vi è un sottogruppo di ordine $55$ e che esso è unico di tale ordine
2) Se vi è un solo elemento di ordine $2$ quanti sono gli elementi di ordine $5$?
3) Se vi è un solo sottogruppo di ordine $5$ provare che vi è un elemento di ordine $55$
Risposta:
1) E' evidente che gli $11$-Sylow sono in numero pari a $1$ quindi il sottogruppo $H$ di ordine $11$ è normale, d'altra parte sappiamo da Cauchy che esiste un sottogruppo $K$ di ordine $5$. E' noto che il prodotto esterno di due sottogruppi di cui almeno uno normale genera un sottogruppo il cui ordine è il prodotto degli ordini, $H*K$ $=$ $HK_55$ quindi esiste un sottogruppo di ordine $55$. L'unicità è data dal fatto che il sottogruppo di ordine $55$ ha indice primo, più piccolo di tutti i primi in cui è possibile fattorizzare $110$ e cioè ha indice $2$, quindi è normale, quindi unico.
2) Se vi è un solo elemento di ordine $2$, allora i $5$-Sylow possono essere in numero pari a $1$ o a $11$, io escluderei $11$ perchè abbiamo detto che il sottogruppo di ordine $55$ è normale quindi rimane che il numero dei $5$-Sylow è $1$ e quindi gli elementi di ordine $5$ sono $4$ i numeri coprimi con $5$.
Tuttavia vado contro l'ipotesi che $G$ non è abeliano, e quindi dovrebbe essere il numero dei $5$ sylow pari a $11$ e quindi ci sono $44$ elementi di ordine $5$
Sono un po confuso.
3)l'ultimo punto mi crea ancora qualche perplessità.
Posso ipotizzare che se c'è un solo sottogruppo di ordine $5$ allora per HP esistono $11$ $2$-Sylow, ma da qui a capire perchè esiste un solo elemento di ordine $55$ non riesco.
Vorrei uin vostro aiuto o suggerimento.
per il punto 3: se è unico il 5-Sylow, chiamiamolo [tex]N_5[/tex] allora è anche normale.
cosa sarà quindi il prodotto [tex]N_5 \cdot N_{11}[/tex] ?
per il punto 2: non sono sicurissimo, ma mi pare che vada abbastanza bene ciò che hai detto: se anche [tex]N_5[/tex] fosse normale, allora il gruppo sarebbe abeliano (dovresti solo argomentare bene il perché) e poi è ok. devi però anche osservare che sottogruppi di ordine 5 distinti hanno intersezione banale.
per il primo esercizio: usi l'induzione in maniera un po' troppo creativa, ma per quello che l'esercizio chiedeva sei arrivato direi.
cosa sarà quindi il prodotto [tex]N_5 \cdot N_{11}[/tex] ?
per il punto 2: non sono sicurissimo, ma mi pare che vada abbastanza bene ciò che hai detto: se anche [tex]N_5[/tex] fosse normale, allora il gruppo sarebbe abeliano (dovresti solo argomentare bene il perché) e poi è ok. devi però anche osservare che sottogruppi di ordine 5 distinti hanno intersezione banale.
per il primo esercizio: usi l'induzione in maniera un po' troppo creativa, ma per quello che l'esercizio chiedeva sei arrivato direi.
Se c'è un solo $5$-sylow allora che $HK$ è isomorfo a $ZZ_5 \times ZZ_(11)$ quindi a $ZZ_(55)$. Da cui la tesi.
Per il punto 1) Se ci fosse un $5$-sylow allora tutti i sottogruppi sarebbero normali e quindi $G$ sarebbe isomorfo a $ZZ_(110)$ che è evidentemente abeliano contro le ipotesi. E con queste argomentazioni provi anche l'esercizio del primo post.
EDIT: scusate la sovrapposizione.
Per il punto 1) Se ci fosse un $5$-sylow allora tutti i sottogruppi sarebbero normali e quindi $G$ sarebbe isomorfo a $ZZ_(110)$ che è evidentemente abeliano contro le ipotesi. E con queste argomentazioni provi anche l'esercizio del primo post.
EDIT: scusate la sovrapposizione.
Innanzitutto grazie.
Volevo argomentare per capire se ho capito (scusate il gioco di parole)
Partiamo dal punto 3, essendo il sottogruppo di ordine $5$ normale lo è anche il sottogruppo di ordine $55$ quindi unico. Quello che mi suona strano è che io intendo il periodo di un elemento e l'ordine di un gruppo. Si puo parlare di ordine di un elemento. Essendo l'ordine la cardinalità del gruppo, cioè il numero di elementi che il gruppo contiene?
Volevo argomentare per capire se ho capito (scusate il gioco di parole)
Partiamo dal punto 3, essendo il sottogruppo di ordine $5$ normale lo è anche il sottogruppo di ordine $55$ quindi unico. Quello che mi suona strano è che io intendo il periodo di un elemento e l'ordine di un gruppo. Si puo parlare di ordine di un elemento. Essendo l'ordine la cardinalità del gruppo, cioè il numero di elementi che il gruppo contiene?
Una volta che ti sei assicurato dell'esistenza del sottogruppo di ordine $55$ osservi che questo è ciclico (perchè prodotto diretto di gruppi ciclici), per cui esisterà un elemento di ordine $55$.
Parlare di ordine di un elemento o di ordine del gruppo è diverso, non è una nozione intercambiabile. Sapere che un gruppo ha ordine $n$ non ti assicura l'esistenza di un elemento di ordine $n$. Puoi pensare al gruppo diedrale ad esempio a $ZZ_2 \times ZZ_2$.
Ma il fatto che il gruppo sia ciclico ce lo garantisce, in quanto per definizione si ha esiste un elemento tale che $G=$ ed ovviamente $|G|=||$
Parlare di ordine di un elemento o di ordine del gruppo è diverso, non è una nozione intercambiabile. Sapere che un gruppo ha ordine $n$ non ti assicura l'esistenza di un elemento di ordine $n$. Puoi pensare al gruppo diedrale ad esempio a $ZZ_2 \times ZZ_2$.
Ma il fatto che il gruppo sia ciclico ce lo garantisce, in quanto per definizione si ha esiste un elemento tale che $G=
"mistake89":
Una volta che ti sei assicurato dell'esistenza del sottogruppo di ordine $55$ osservi che questo è ciclico (perchè prodotto diretto di gruppi ciclici), per cui esisterà un elemento di ordine $55$.
Parlare di ordine di un elemento o di ordine del gruppo è diverso, non è una nozione intercambiabile. Sapere che un gruppo ha ordine $n$ non ti assicura l'esistenza di un elemento di ordine $n$. Puoi pensare al gruppo diedrale ad esempio a $ZZ_2 \times ZZ_2$.
Ma il fatto che il gruppo sia ciclico ce lo garantisce, in quanto per definizione si ha esiste un elemento tale che $G=$ ed ovviamente $|G|=| |$
Ok, condivido tutto.
Ma se il gruppo di ordine $55$ è ciclico (e lo è), allora i suoi generatori saranno i numeri coprimi con $55$. Ora poichè tale gruppo è isomorfo a $Z_5$ $*$ $Z_11$ i suoi numeri coprimi saranno quei numeri coprimi con $5$ per i numeri coprimi con $11$, quindi esistono $40$ generatori del gruppo di ordine $55$ pertanto esistono $40$ elementi di periodo $55$.
Devo dedurre che l'esercizio mi chiede di provare che esiste almeno un elemento di ordine $55$, e non che esiste un solo elemento di ordine $55$. Se così fosse la dicitura dell'esercizio non è il massimo della chiarezza, da cui i miei dubbi.
Ovviamente ne sono $phi(55)=phi(5)*phi(11)=4*10=40$. E' giusto non è unico ma non è sbagliato il modo di porre la traccia. Diceva semplicemente dimostrare che ne esiste (almeno) uno e non "uno ed uno solo"
"mistake89":
Ovviamente ne sono $phi(55)=phi(5)*phi(11)=4*10=40$. E' giusto non è unico ma non è sbagliato il modo di porre la traccia. Diceva semplicemente dimostrare che ne esiste (almeno) uno e non "uno ed uno solo"
Ok, allora mi è tutto chiaro.
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