Dimostrare che un anello è un campo (polinomi)
Salve,
sto svolgendo il seguente esercizio:
Per risolvere l'esercizio devo dimostrare che $f(x)$ è irriducibile.
Inizio cercando delle radici, ma non ci sono. Ma questo non basta per dire che $f(x)$ è irriducibile, quindi controllo se posso scrivere $f(x)$ come prodotto di due polinomi.
Osservando i gradi, le uniche combinazioni possibili di polinomi, il cui prodotto dia un polinomio di grado 2, sono:
sto svolgendo il seguente esercizio:
Si consideri l'anello $A= (\mathbb{Z}_7 [X])/I$ con $I=(f(x))=(x^2-3)$, si provi che $A$ è un campo.
Per risolvere l'esercizio devo dimostrare che $f(x)$ è irriducibile.
Inizio cercando delle radici, ma non ci sono. Ma questo non basta per dire che $f(x)$ è irriducibile, quindi controllo se posso scrivere $f(x)$ come prodotto di due polinomi.
Osservando i gradi, le uniche combinazioni possibili di polinomi, il cui prodotto dia un polinomio di grado 2, sono:
[*:28j7b8xh] grado 1 * grado 1[/*:m:28j7b8xh]
[*:28j7b8xh] grado 2 * grado 0[/*:m:28j7b8xh][/list:u:28j7b8xh]
La prima è da scartare perchè, se esistessero veramente polinomi di grado 1, avrei trovato delle radici (teorema di Ruffini). (Confermate che questa affermazione sia vera?)
Quindi provo con la seconda:
$x^2-3=(x^2+ax+b) c=cx^2+acx+bc$
Il che da origine al sistema:
$\{(c=1),(ac=0),(bc=-3):}$
che ammette soluzioni: $a=0, b=-3, c=1$
Quindi il $f(x)$ è riducibile e di conseguenza $A$ non è un campo. Ma dal testo mi sembra abbastanza ovvio che $A$ debba essere un campo.
Dove sbaglio?
Grazie in anticipo.
Saluti
Risposte
Dal momento che $\ZZ_7$ e' un campo e che il polinomio ha grado $2$ ti basta osservare che non ha radici per concludere che e' irriducibile.
Infatti, se fosse riducibile, come hai detto tu, sarebbe $f = gh$ con $deg(g) = deg(h) =1$ oppure $deg(g) = 2$ e $deg(h)=0$. Il primo caso lo scarti proprio come hai detto tu, usando il teorema di Ruffini (in realta' il viceversa del Teorema del Ruffini).
Per scartare il secondo caso basta osservare che in $\ZZ_7[x]$ gli elementi di grado zero sono invertibili, quindi nel secondo caso $g$ non sarebbe un fattore proprio di $f$. (la fattorizzazione che hai trovato tu infatti ha $c =1$ (ma puoi scriverne una usando un $c$ qualsiasi)).
Ragionamento analogo funziona con polinomi di grado $3$.
Con polinomi di grado $4$ invece, almeno in generale, bisogna usare la tecnica che hai usato te, ovvero supporre che ci siano due fattori di grado $2$ (gli altri casi li escludi con Ruffini) e fare il sistemino con i coefficienti.
Quindi concludiamo che $f$ e' irriducibile, quindi il suo ideale e' massimale (perche' $\ZZ_7[x]$ e' un PID; se non hai un PID non e' vero che ideali generati da elementi irriducibili sono massimali), quindi il quoziente e' un campo.
Infatti, se fosse riducibile, come hai detto tu, sarebbe $f = gh$ con $deg(g) = deg(h) =1$ oppure $deg(g) = 2$ e $deg(h)=0$. Il primo caso lo scarti proprio come hai detto tu, usando il teorema di Ruffini (in realta' il viceversa del Teorema del Ruffini).
Per scartare il secondo caso basta osservare che in $\ZZ_7[x]$ gli elementi di grado zero sono invertibili, quindi nel secondo caso $g$ non sarebbe un fattore proprio di $f$. (la fattorizzazione che hai trovato tu infatti ha $c =1$ (ma puoi scriverne una usando un $c$ qualsiasi)).
Ragionamento analogo funziona con polinomi di grado $3$.
Con polinomi di grado $4$ invece, almeno in generale, bisogna usare la tecnica che hai usato te, ovvero supporre che ci siano due fattori di grado $2$ (gli altri casi li escludi con Ruffini) e fare il sistemino con i coefficienti.
Quindi concludiamo che $f$ e' irriducibile, quindi il suo ideale e' massimale (perche' $\ZZ_7[x]$ e' un PID; se non hai un PID non e' vero che ideali generati da elementi irriducibili sono massimali), quindi il quoziente e' un campo.
Intanto grazie per la risposta.
Non ho capito questa parte:
Invece per quanto riguarda il resto, ricapitolando:
Non ho capito questa parte:
"Pappappero":
Per scartare il secondo caso basta osservare che in $\ZZ_7[x]$ gli elementi di grado zero sono invertibili, quindi nel secondo caso $g$ non sarebbe un fattore proprio di $f$. (la fattorizzazione che hai trovato tu infatti ha $c =1$ (ma puoi scriverne una usando un $c$ qualsiasi)).
Invece per quanto riguarda il resto, ricapitolando:
[*:33j406s0] Grado 1: sempre irriducibile[/*:m:33j406s0]
[*:33j406s0] Grado 2 e 3: irriducibile se non trovo radici[/*:m:33j406s0]
[*:33j406s0] Dal grado 4 in poi: escludo le combinazioni con i polinomi di grado 1 e quelle con i polinomi di grado 0 e faccio il sistema per le altre.[/*:m:33j406s0][/list:u:33j406s0]
Corretto?
Grazie ancora.
Definizione di irriducibile.
$f$ si dice irriducibile se, ogni qual volta $f = ab$, allora $a$ è invertibile oppure $b$ è invertibile (nel primo caso $b$ sarà associato di $f$, nel secondo caso $a$ sarà associato di $f$).
Nel nostro caso $f$ è un polinomio di grado $2$ su un campo $F[x]$. Se vogliamo dimostrare che non è irriducibile, dobbiamo trovare due polinomi $a,b$ entrambi non invertibili tali che $f = ab$. Certamente non possiamo usare polinomi di grado $0$, in quanto i polinomi di grado zero sono gli elementi di $F$, e quindi invertibili perché $f$ è un campo.
$f$ si dice irriducibile se, ogni qual volta $f = ab$, allora $a$ è invertibile oppure $b$ è invertibile (nel primo caso $b$ sarà associato di $f$, nel secondo caso $a$ sarà associato di $f$).
Nel nostro caso $f$ è un polinomio di grado $2$ su un campo $F[x]$. Se vogliamo dimostrare che non è irriducibile, dobbiamo trovare due polinomi $a,b$ entrambi non invertibili tali che $f = ab$. Certamente non possiamo usare polinomi di grado $0$, in quanto i polinomi di grado zero sono gli elementi di $F$, e quindi invertibili perché $f$ è un campo.
Grazie, ora ho capito.
Saluti
Saluti
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