Dimostrare che non esiste alcun epimorfismo tra 2 reticoli

[nine98100]

Salve a tutti, sono di nuovo alle prese con la teoria dei reticoli che non trovo così difficile anche se alcuni esercizi mi stanno dando filo da torcere, e da un po' che ci penso ma non riesco a risolvere un esercizio, questo il testo:
Dimostrare che non esiste alcun epimorfismo $ f:L(V)->S $ dove $ L(V) $ è il reticolo dei sottogruppi di un gruppo ciclico $ V $ ed $ S $ il reticolo di cui in figura:

Ho provato a ragionare per assurdo ma non riesco a concludere niente.... ho pensato anche che il reticolo $ S $ è pentagonale e quindi non modulare mentre il reticolo $ L(V) $ è modulare essendo i sottogruppi di un gruppo ciclico normali... però non saprei come usare queste informazioni anche perchè l'esercizio non parla di isomorfismo ma di epimorfismo

[nine98100]

Vedo che ci sono diverse visite ma nessuno ha risposto... dopo averci pensato su un bel po' credo di aver risolto il problema. Propongo 2 tentativi di soluzione:

1) Supponiamo per assurdo che esista $ f:L(V)->S $ epimorfismo tra i 2 reticoli. Allora, immediatamente si ha: $ f({1})=0 $ e $ f(V)=1 $ (infatti ogni omomorfismo di reticoli porta il minimo (massimo) di $ L(V) $ nel minimo (massimo) di $ S $ nel caso in cui $ f $ è suriettiva ). Inoltre poichè $ f $ è suriettiva esistono almeno 3 sottogruppi propri $ A,B,C in L(V) $ tali che $ f(A)=a $ , $ f(B)=b $ e $ f(C)=c $ .

"nine98100":

Dal diagramma di Hasse di $ S $ deduco che da $ f(B)=b Ma calcolando separatamente otteniamo, tenendo conto del diagramma di Hasse di $ S $:
$ f(Bvv(C^^A))=f(B)vvf(C^^A)=f(B)vv[f(C)^^f(A)]=bvv(c^^a)=bvv0=b $
$ f((BvvC)^^A)=(f(BvvC))^^f(A)=[f(B)vvf(C)]^^f(A)=(bvvc)^^a=1^^a=a $
Da cui l'assurdo, per cui non esiste un epimorfismo tra $ L(V) $ e $ S $ .

2) Un'alternativa più veloce ed elegante di dimostrazione poteva essere la seguente:
Supponiamo per assurdo che esista $ f:L(V)->S $ epimorfismo tra i 2 reticoli. Allora $ f(L(V))=S $ . Per un noto risultato sui reticoli modulari, sappiamo che ogni omomorfismo di reticoli porta reticoli modulari in reticoli modulari: vale a dire che $ L(V) $ è il dominio dell'omomorfismo, essendo $ L(V) $ modulare, sarà modulare, essendo $ f $ suriettiva, anche $ f(L(V))=S $ , il che è assurdo poichè il diagramma di Hasse di $ S $ è pentagonale ed è noto che un reticolo pentagonale non è modulare. Pertanto non può esistere un epimorfismo tra i 2 reticoli

Sono abbastanza convinto di quello che ho scritto... però se qualcuno controllasse non guasterebbe... Aspetto risposta e buon weekend