Dimostrare che la differenza simmetrica è associativa

[anonymous_bfa612]

Vorrei dimostrare che la differenza simmetrica tra insiemi è associativa, ovvero che $(A\astB)\ast C=A\ast(B\astC)$.

Ho definito la differenza simmetrica in due modi equivalenti:

[*:1jwk40sx] $A\ast B=(A\cup B)\setminus(A\cap B)$[/*:m:1jwk40sx]
[*:1jwk40sx] $A\ast B=(A\setminus B)\cup(B\setminus A)$[/*:m:1jwk40sx][/list:u:1jwk40sx]

Ho trovato questa dimostrazione che ha però un difetto su cui non posso sorvolare: utilizza infatti il concetto di complemento di un insieme. Il motivo è che il complemento dell'insieme vuoto è l'universo, che non è un insieme ma una classe propria. La teoria degli insiemi che sto ripercorrendo non include le classi proprie.

Ad esempio non posso utilizzare il classico teorema di De Morgan:


[*:1jwk40sx]$\overline{A\cup B}=\overline A\cap\overline B$.[/*:m:1jwk40sx]
[*:1jwk40sx]$\overline{A\cap B}=\overline A\cup\overline B$[/*:m:1jwk40sx][/list:u:1jwk40sx]

Devo accontentarmi della seguente versione:


[*:1jwk40sx]$C\setminus(A\cup B)=C\setminus A\cap C\setminus B$[/*:m:1jwk40sx]
[*:1jwk40sx]$C\setminus(A\cap B)=C\setminus A\cup C\setminus B$[/*:m:1jwk40sx][/list:u:1jwk40sx]

Ad ogni modo sembra che la dimostrazione della proprietà associativa della differenza simmetrica sia piuttosto macchinosa e non ne sono venuto ancora a capo. Qualche idea?

[e3353cdc139f9576d1418ef5ef3cff2aac614a86]

Puoi fare la dimostrazione di wikipedia prendendo come insieme universo [tex]A \cup B \cup C[/tex].