Dimostrare che dati due ideali I e J, IJ è un ideale

[lucia88]

Ciao a tutti,
devo dimostrare che dati due ideali I e J dell'anello A,
$IJ:={\sum_{i=i}^n a_ib_i |a_i\inI, b_i\inJ,n>=0}$ è un ideale

Cioè:
-$AAx,y\inIJ$, $x-y\inIJ$
-sia $u\inA$, $x\inIJ$ : $ux\inIJ$ e $xu\inIJ$

So che l'esercizio è banale, ma la sommatoria mi da un pò di problemi

[Pappappero1]

Per la prima parte, basta mettere tutto sotto la stessa sommatoria. Se vuoi scrivere tutto esplicitamente, devi stare attenta a non far confusione con gli indici, ma non e' per nulla difficile.
La parte della moltiplicazione viene direttamente dalle proprieta' distributive di $A$.

Piu' in generale, se hai un insieme $S \subseteq A$, l'insieme
\[
\left\{ \sum a_i s_i : a_i \in A, s_i \in S \right\}
\]
e' un ideale, ed e' proprio l'ideale generato da $S$ (ovvero il piu' piccolo ideale di $A$ che contiene $S$). Il tuo e' un caso particolare di questa situazione, quando prendi $S = \{ab: a\in I, b \in J\}$.