Dimostrare che $C_n$ è un gruppo
buonasera!
mi è capitato questo esercizio in cui mi si chiede dato $C_n={e^(((2pii)/n)k)|0<=k<=n-1}$ l'insieme delle radici n-esime dell'unità,dimostrare che $(C_n,*)$ è un gruppo.
Io fin'ora sono sempre stata abituata a ragionare con gruppi indicati del tipo $C_8,C_9$ ecc. non sono sicura del mio ragionamento e della scrittura che ho usato per svolgere l'esercizio.
prima di tutto $C_n$ non sarebbe un sottogruppo di $CC \\{0}$? il testo chiedendomi di verificare che si tratta in gruppo e non di un s.g. non devo considerare la chiusura delle operazioni essendo un gruppo semplicemente un monoide in cui tutti gli elementi sono invertibili,o sbaglio?
comunque questo è il mio procedimento,per vedere che si tratta di un gruppo verifico
l'associatività:
siano $e^(((2pii)/n)k_1)$,$e^(((2pii)/n)k_2)$,$e^(((2pii)/n)k_3)$ in $C_n$ allora
$(e^(((2pii)/n)k_1)e^(((2pii)/n)k_2))e^(((2pii)/n)k_3)=e^(((2pii)/n)k_1+((2pii)/n)k_2)e^(((2pii)/n)k_3)=e^(((2pii)/n)k_1+((2pii)/n)k_2+((2pii)/n)k_3)=e^(((2pii)/n)k_1)e^(((2pii)/n)k_2+((2pii)/n)k_3)=e^(((2pii)/n)k_1)(e^(((2pii)/n)k_2)e^(((2pii)/n)k_3))$
esistenza dell'elemento neutro:
$1inC_n$ e $1*e^(((2pii)/n)k)=e^(((2pii)/n)k)*1=e^(((2pii)/n)k)$
esistenza dell'inverso
$e^(((2pii)/n)k)inC_nrArre^(((-2pii)/n)k)inC_n$.
Non so quanto sia importante la chiusura,ma se fosse stato dichiarato sottogruppo allora l'avrei dovuta verificare di certo e in tal caso?
presi $e^(((2pii)/n)k_1)$,$e^(((2pii)/n)k_2)$ in $C_n$ allora $e^(((2pii)/n)k_1)e^(((-2pii)/n)k_2)=e^(((2pii)/n)(k_1-k_2))inC_n$ è chiara questa scrittura?
ringrazio chiunque possa darmi un parere visto che non mi fido molto di come ho esposto le cose non essendo abituata ancora a ragionare in astratto,grazie mille
mi è capitato questo esercizio in cui mi si chiede dato $C_n={e^(((2pii)/n)k)|0<=k<=n-1}$ l'insieme delle radici n-esime dell'unità,dimostrare che $(C_n,*)$ è un gruppo.
Io fin'ora sono sempre stata abituata a ragionare con gruppi indicati del tipo $C_8,C_9$ ecc. non sono sicura del mio ragionamento e della scrittura che ho usato per svolgere l'esercizio.
prima di tutto $C_n$ non sarebbe un sottogruppo di $CC \\{0}$? il testo chiedendomi di verificare che si tratta in gruppo e non di un s.g. non devo considerare la chiusura delle operazioni essendo un gruppo semplicemente un monoide in cui tutti gli elementi sono invertibili,o sbaglio?
comunque questo è il mio procedimento,per vedere che si tratta di un gruppo verifico
l'associatività:
siano $e^(((2pii)/n)k_1)$,$e^(((2pii)/n)k_2)$,$e^(((2pii)/n)k_3)$ in $C_n$ allora
$(e^(((2pii)/n)k_1)e^(((2pii)/n)k_2))e^(((2pii)/n)k_3)=e^(((2pii)/n)k_1+((2pii)/n)k_2)e^(((2pii)/n)k_3)=e^(((2pii)/n)k_1+((2pii)/n)k_2+((2pii)/n)k_3)=e^(((2pii)/n)k_1)e^(((2pii)/n)k_2+((2pii)/n)k_3)=e^(((2pii)/n)k_1)(e^(((2pii)/n)k_2)e^(((2pii)/n)k_3))$
esistenza dell'elemento neutro:
$1inC_n$ e $1*e^(((2pii)/n)k)=e^(((2pii)/n)k)*1=e^(((2pii)/n)k)$
esistenza dell'inverso
$e^(((2pii)/n)k)inC_nrArre^(((-2pii)/n)k)inC_n$.
Non so quanto sia importante la chiusura,ma se fosse stato dichiarato sottogruppo allora l'avrei dovuta verificare di certo e in tal caso?
presi $e^(((2pii)/n)k_1)$,$e^(((2pii)/n)k_2)$ in $C_n$ allora $e^(((2pii)/n)k_1)e^(((-2pii)/n)k_2)=e^(((2pii)/n)(k_1-k_2))inC_n$ è chiara questa scrittura?
ringrazio chiunque possa darmi un parere visto che non mi fido molto di come ho esposto le cose non essendo abituata ancora a ragionare in astratto,grazie mille
Risposte
Per dimostrare che un insieme è un gruppo puoi anche farlo mostrando che è un sottogruppo per un gruppo che lo contiene. A parte questo il modo è corretto. Anche se io sarei partito dalla chiusura.
grazie della risposta!
in realtà nell'ultimo punto ora che ci penso non ho usato solo la chiusura,ma il criterio per stabilire se è un sottogruppo,ovvero
sia $G$ un gruppo allora $F<=G$ se e solo se $xy^-1inF$ per ogni $x,yinF$
quindi avrei potuto usare anche solo questo criterio per dimostrare che è un sottogruppo,credo
Comunque mi sembra di aver capito che alla fine la cosa si dimostra tutta attraverso le proprietà delle potenze...
in realtà nell'ultimo punto ora che ci penso non ho usato solo la chiusura,ma il criterio per stabilire se è un sottogruppo,ovvero
sia $G$ un gruppo allora $F<=G$ se e solo se $xy^-1inF$ per ogni $x,yinF$
quindi avrei potuto usare anche solo questo criterio per dimostrare che è un sottogruppo,credo
Comunque mi sembra di aver capito che alla fine la cosa si dimostra tutta attraverso le proprietà delle potenze...
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