Dimostrare che 3^n > n^3

[teseien]

Salve a tutti, in un vecchio esame ho trovato questo esercizio:

dimostrare che 3^n > n^3 per  n>=4

Io ho provato per induzione, assumo che sia vera e controllo se funziona per 4.

poi provo per (n+1)

3*3^n > n^3 + 3n^2 + 3n + 1

e qui mi blocco.... come si fa a vedere che è sempre vera per n > 4?
a "spanne" si intuisce ma all esame non si può fare cose così... boh

grazie mille se qualcuno mi aiuta..

[Seneca1]

Dall'ipotesi induttiva hai che $3^(n+1) > 3 * n^3$; quindi dovresti provare che $3 * n^3 \ge ( n+1)^3$ per $n \ge 4$. Che dici?
[xdom="Seneca"]Sposto la discussione in Algebra.[/xdom]

[teseien]

da questo mi viene:

-2n^3 + 3n^2 + 3n + 1 <= 0

e da qui che si fa?

[Seneca1]

Seguendo la strada dell'induzione, potresti sfruttare
\[ x^3 - y^3 = (x - y) ( x^2 + xy + y^2 ) \;,\]
dove $x = 3^{1/3} n$ ed $y = n+1$. Si tratta di fare uno studio del segno elementare.

Un'altra strada è quella di passare ai logaritmi e usare un argomento di convessità.

[teseien]

ma a un esame a chi può venire in mente una cosa del genere?? siamo al primo anno e non ha trattato queste dimostrazioni se non all'inizio per poche lezioni... spero non ci chieda cose del genere........ grazie mille

[Seneca1]

Posso chiederti che corso di studi fai?

[Mino_01]

Buona sera
dato che:

$3^x/x^3$ è strettamente crescente in $ ]3/log3,+oo[$;

$3^4/4^3>1$;

si ha l' asserto.
Potrebbe esserci un metodo più diretto.

Saluti
Mino

[Gi81]

$3 * n^3 >= ( n+1)^3<=> root3(3)n>=n+1<=>(root3(3)-1)n>=1<=> n>=1/(root3(3)-1)$ (ovviamente $root3(3)-1>0$)
L'ultima disuguaglianaza è vera per ogni $n>=4$, dato che
$1/(root3(3)-1)= 1/(root3(3)-1) *(root3(9)+root3(3)+1)/(root3(9)+root3(3)+1)= (root3(9)+root3(3)+1)/2<(3+2+1)/2=3$

Ricapitolando,
$3^(n+1)=3*3^n> 3*n^3>=(n+1)^3$

[teseien]

ho trovato la spiegazione del prof ad un vecchio esame XD

\(\displaystyle 3^n > n^3 \)

\(\displaystyle 3 \)^(n+1) \(\displaystyle > (n+1)^3 \)

quindi \(\displaystyle 3*3^n > (n+1)^3 \)

indipercui \(\displaystyle 3^n + 2*3^n > n^3 + 3n^2 + 3n + 1 \)

so che \(\displaystyle 3^n \) è già maggiore di \(\displaystyle n^3 \) quindi il dubbio rimane per il resto:

\(\displaystyle 2*3^n > 3n^2 + 3n + 1 \) ?

vediamo se:
\(\displaystyle
2*n^3 > 3n^2 + 3n + 1 \) //dato che per ipotesi induttiva 3^n > n^3

\(\displaystyle n*(2*n^2 - 3*n + 3) > 1 \) ??

vale per \(\displaystyle n >= 1 \) perchè i due fattori sono maggiori di uno. (tranne con n = 2 che uno è = 1 e l'altro = 2).

quindi ho che \(\displaystyle 3^n + 2*3^n > n^3 + 2*n^3 > n^3 + 3n^2 + 3n + 1 \)