Dimostrare antisimmetria
Ragazzi oggi la prof, mi ha fatto notare che quando cerchiamo di dimostrare le proprietà di riflessività, antisimmetria e transitività di una relazione d'ordine procediamo in questo modo:
se tipo ho:
$AA (a,b), (c,d) in NxN, (a,b) pi (c,d) <=> a+b <= c+d$
1) riflessività
$AA (a,b) in NxN, a+b <= a+b => (a,b) pi (a,b)$
2) antisimmetria
$AA (a,b), (c,d) in NxN, (a,b) pi (c,d)$ e $(c,d) pi (a,b) => (a,b)=(c,d)$
Quando faccio l'antisimmetria, qui sta praticamente dicendo: Se a è in relazione con b e b è in relazione con a allora gli elementi a e b sono uguali. Nel mio caso ho:
$a+b <= c+d$ e $c+d <= a+b => a+b=c+d$
Questa non risulta essere antiriflessiva, perchè quello che a noi interessa è che le coppie siano uguali, e nel nostro caso non è così, è giusto?
Se prendo: $(1,1), (2,0)$ ho che le condizioni sono verificate, ma le coppie non sono uguali.
3) Per la riflessivita:
$AA (a,b), (c,d), (e,f) in NxN, (a,b) pi (c,d)$ e $(c,d) pi (e,f) => (a,b) pi (e,f)$
Questo significa che:
$a+b <= c+d$ e
$c+d <= e+f$ allora
$a+b <= e+f$, Qui a riguardo cosa dico ? che è banalmente verificato perchè la relazione $<=$ è transitiva?
se tipo ho:
$AA (a,b), (c,d) in NxN, (a,b) pi (c,d) <=> a+b <= c+d$
1) riflessività
$AA (a,b) in NxN, a+b <= a+b => (a,b) pi (a,b)$
2) antisimmetria
$AA (a,b), (c,d) in NxN, (a,b) pi (c,d)$ e $(c,d) pi (a,b) => (a,b)=(c,d)$
Quando faccio l'antisimmetria, qui sta praticamente dicendo: Se a è in relazione con b e b è in relazione con a allora gli elementi a e b sono uguali. Nel mio caso ho:
$a+b <= c+d$ e $c+d <= a+b => a+b=c+d$
Questa non risulta essere antiriflessiva, perchè quello che a noi interessa è che le coppie siano uguali, e nel nostro caso non è così, è giusto?
Se prendo: $(1,1), (2,0)$ ho che le condizioni sono verificate, ma le coppie non sono uguali.
3) Per la riflessivita:
$AA (a,b), (c,d), (e,f) in NxN, (a,b) pi (c,d)$ e $(c,d) pi (e,f) => (a,b) pi (e,f)$
Questo significa che:
$a+b <= c+d$ e
$c+d <= e+f$ allora
$a+b <= e+f$, Qui a riguardo cosa dico ? che è banalmente verificato perchè la relazione $<=$ è transitiva?
Risposte
Ciao!
Sulla (3) ci siamo,però magari evita l'avverbio banalmente:
ti dico per esperienza che spesso è un invito per l'insegnante a vedere quanto l'allievo si possa permettere d'usarlo,
e questo potrebbe diventare un attimo controproducente..
Sulla (2) non ho capito una cosa:
t'è chiaro che,partendo dall'ipotesi ottimistica d'antisimmetria della tua relazione,
sei invece riuscito a trovar spunto per costruire un controesempio che dimostra come essa invece non lo è?
Saluti dal web.
Sulla (3) ci siamo,però magari evita l'avverbio banalmente:
ti dico per esperienza che spesso è un invito per l'insegnante a vedere quanto l'allievo si possa permettere d'usarlo,
e questo potrebbe diventare un attimo controproducente..
Sulla (2) non ho capito una cosa:
t'è chiaro che,partendo dall'ipotesi ottimistica d'antisimmetria della tua relazione,
sei invece riuscito a trovar spunto per costruire un controesempio che dimostra come essa invece non lo è?
Saluti dal web.
spiegati meglio sul controesempio.
Ciao!
Mi pare tu abbia trovato nel tuo insieme di partenza due elementi diversi(nel caso specifico coppie di naturali..)
ognuno dei quali è in relazione con l'altro:
basta allora questo caso(controesempio,appunto..)
per affermare che è falso quel che stavi provando a dimostrare esser vero in tutto $NNxxNN$!
Il concetto in fondo è semplice:
per esser falsa la frase "Questo forum m'è sempre utile a chiarire i miei dubbi",
basta anche una sola volta in cui ciò non accade
(ma spero non sia questa!)..
Saluti dal web.
Mi pare tu abbia trovato nel tuo insieme di partenza due elementi diversi(nel caso specifico coppie di naturali..)
ognuno dei quali è in relazione con l'altro:
basta allora questo caso(controesempio,appunto..)
per affermare che è falso quel che stavi provando a dimostrare esser vero in tutto $NNxxNN$!
Il concetto in fondo è semplice:
per esser falsa la frase "Questo forum m'è sempre utile a chiarire i miei dubbi",
basta anche una sola volta in cui ciò non accade
(ma spero non sia questa!)..
Saluti dal web.
mi è chiaro, potresti farmi tu un esempio di relazione che soddisfa l'antisimmetria?
Prova in $NN$ con la divisibilità oppure con l'usuale relazione di $<=$:
se le definisci per benino dovresti farcela..
Saluti dal web.
se le definisci per benino dovresti farcela..
Saluti dal web.
gaten, la proprietà di antisimmetria è un pò strana... mi spiego.
In $NN$ se gli associ la relazione d'ordine $<=$, trovi che:
1) è riflessiva in quanto $AAn in NN$ si ha $a<=a$, ossia che qualsiasi elemento è minore/uguale a se stesso: $2<=2$
2) è antisimmetrica in quanto $AAa,b in NN$ si ha che se $a<=b ^^ b<=a => a=b$, cioè se $2<=3$ non è vero che $3<=2$, ergo non è simmetrica, cioè è antisimmetrica
3) è transitiva, ma evito di scriverlo.
Spero di non aver scritto fesserie.
In $NN$ se gli associ la relazione d'ordine $<=$, trovi che:
1) è riflessiva in quanto $AAn in NN$ si ha $a<=a$, ossia che qualsiasi elemento è minore/uguale a se stesso: $2<=2$
2) è antisimmetrica in quanto $AAa,b in NN$ si ha che se $a<=b ^^ b<=a => a=b$, cioè se $2<=3$ non è vero che $3<=2$, ergo non è simmetrica, cioè è antisimmetrica
3) è transitiva, ma evito di scriverlo.
Spero di non aver scritto fesserie.
"GundamRX91":Esistono relazioni che non sono né simmetriche né antisimmetriche. Per esempio sull'insieme [tex]\{1,2,3\}[/tex] la relazione [tex]\{(1,2),(2,1),(1,3)\}[/tex] non è simmetrica né antisimmetrica.
non è simmetrica, cioè è antisimmetrica
Di antisimmetria si era parlato qui.
"Martino":Esistono relazioni che non sono né simmetriche né antisimmetriche. Per esempio sull'insieme [tex]\{1,2,3\}[/tex] la relazione [tex]\{(1,2),(2,1),(1,3)\}[/tex] non è simmetrica né antisimmetrica.
[quote="GundamRX91"]non è simmetrica, cioè è antisimmetrica
Di antisimmetria si era parlato qui.[/quote]
Ah, si, l'avevo letta quella discussione!! Molto interessante
Spero comunque di aver risposto correttamente a gaten con il mio esempio....
Martino, se avessi avuto una relazione del tipo:
$AA a,b in N$
$ a pi b <=> 2^a <= 3^b$
Avrei dovuto dimostrare che:
$AA a,b in N , a pi b$ e $b pi a => a=b$
Nel mio caso:
$2^a <= 3^b$ e
$2^b <= 3^a$, questo implica: $2^a=3^b$ oppure $a=b$ ???
Inoltre, puoi mostrare un esempio di relazione che non soddisfa la transitività?
$AA a,b in N$
$ a pi b <=> 2^a <= 3^b$
Avrei dovuto dimostrare che:
$AA a,b in N , a pi b$ e $b pi a => a=b$
Nel mio caso:
$2^a <= 3^b$ e
$2^b <= 3^a$, questo implica: $2^a=3^b$ oppure $a=b$ ???
Inoltre, puoi mostrare un esempio di relazione che non soddisfa la transitività?
"gaten":Questa relazione non è transitiva (e questo è già un esempio) perché per esempio [tex]8 \pi 6 \pi 4[/tex] ma non è vero che [tex]8 \pi 4[/tex].
$AA a,b in N$
$ a pi b <=> 2^a <= 3^b$
Per dimostrare che è antisimmetrica sei arrivato a [tex]2^a = 3^b[/tex], da qui devi dedurre che [tex]a=b[/tex].
Ci si rivede!
Hai ragione nel pensare che quell'ipotesi implica in un primo momento "solo" che $2^a=3^b$ ma,
se poi chiamassi A il numero naturale a cui sarebbero uguali entrambi questi membri,
t'accorgeresti che A stesso avrebbe due distinte decomposizioni in fattori primi;
essendo ciò possibile in $NN$ solo quando a=b=0,avresti dimostrato quello che vuoi sia vero:
ne puoi concludere che,se nel tuo corso vi siete messi d'accordo nel dire $0inNN$,la relazione data è antisimmetrica?
E se invece per voi il primo numero naturale fosse 0,
cosa ne dedurresti?
Saluti dal web
P.S.
Scusami,Martino,per la contemporaneità:
dato che sei un buon amministratore di questo condominio di curiosi,
sai dirmi se ho modo di vedere quando qualcuno stà digitando una risposta allo stesso argomento che stò trattando io?
Hai ragione nel pensare che quell'ipotesi implica in un primo momento "solo" che $2^a=3^b$ ma,
se poi chiamassi A il numero naturale a cui sarebbero uguali entrambi questi membri,
t'accorgeresti che A stesso avrebbe due distinte decomposizioni in fattori primi;
essendo ciò possibile in $NN$ solo quando a=b=0,avresti dimostrato quello che vuoi sia vero:
ne puoi concludere che,se nel tuo corso vi siete messi d'accordo nel dire $0inNN$,la relazione data è antisimmetrica?
E se invece per voi il primo numero naturale fosse 0,
cosa ne dedurresti?
Saluti dal web
P.S.
Scusami,Martino,per la contemporaneità:
dato che sei un buon amministratore di questo condominio di curiosi,
sai dirmi se ho modo di vedere quando qualcuno stà digitando una risposta allo stesso argomento che stò trattando io?
PEr a=b=0, ottengo 1=1 quindi, sarebbe antisimmetrica, supponiamo che invece $0$ non appartiene a $N$? Inoltre Martino, tu hai scritto: $8 pi 6 pi 4 $ significa: $8 <= 6$ e $6 <= 4$( già da qua cosa dico? )
"gaten":Questo è il motivo per cui ho segnalato l'altra discussione nel mio intervento precedente. Se 0 non appartiene a N allora non cambia proprio niente: la tua relazione [tex]\pi[/tex] continua ad essere antisimmetrica, perché [tex]2^a = 3^b[/tex] continua ad implicare che [tex]a=b[/tex]. Questo è perché un'implicazione [tex]A \Rightarrow B[/tex] è sempre vera se [tex]A[/tex] è falsa (per definizione di implicazione logica). E in questo caso [tex]A[/tex] = " [tex]2^a = 3^b[/tex] " è sempre falsa se [tex]a,b \in \mathbb{N}-\{0\}[/tex].
PEr a=b=0, ottengo 1=1 quindi, sarebbe antisimmetrica, supponiamo che invece $0$ non appartiene a $N$?
Inoltre Martino, tu hai scritto: $8 pi 6 pi 4 $ significa: $8 <= 6$ e $6 <= 4$( già da qua cosa dico? )Se leggi sopra, tra quello che hai scritto tu e quello che ho scritto io trovi tutto quello che ti serve per rispondere a questo tuo dubbio.
@theras: non credo sia possibile sapere quando due stanno scrivendo in contemporanea.
Martino scusami, riguardo all'antisimmetria, non devo verificare che
$AA a, b in N, a pi b$ e $b pi a => a = b$, nel mio caso gli a e b per far si che valga l'antisimmetria sono solo 0 e 0. Per tutto il resto , non vale.
Poi non riesco a capire la transitività, arrivato a dire $6<=4$ già qui non è vero. inoltre non è vero nemmeno che $8 <= 4$(ma questo viene solo dopo aver visto che $6 <= 4$
$AA a, b in N, a pi b$ e $b pi a => a = b$, nel mio caso gli a e b per far si che valga l'antisimmetria sono solo 0 e 0. Per tutto il resto , non vale.
Poi non riesco a capire la transitività, arrivato a dire $6<=4$ già qui non è vero. inoltre non è vero nemmeno che $8 <= 4$(ma questo viene solo dopo aver visto che $6 <= 4$
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