Dimostazione uguaglianza insiemi
Nel dimostrare un uguaglianza tra insiemi usando la $A=B iff A sube B ^^ B sube A$ dopo avere dimostrato $A sube B ^^ B sube A$, come dimostro $A=B$ ?
Risposte
Dubbio: sai cosa significa il simbolo $<=>$ ?
$iff$ si legge se e solo se, ora bisogna dimostrare che $A=B iff A sube B ^^ B sube A$, vuole dire ${[A=B rArr A sube B ^^ B sube A] ^^ [A=B lArr A sube B ^^ B sube A$$]}$; ho dimostrato $A sube B ^^ B sube A$ in $A=B lArr A sube B ^^ B sube A$, ma adesso come faccio a dimostrare che $A=B lArr $, quindi che $A=B$ è vera cosi che l'implicazione risulta vera ?
E' immediato $AsubeB$ vuol dire che $nexistsainA:anotinB$, $BsubeA$ significa che $nexistsbinB:bnotinA$. Quindi $A$ e $B$ hanno gli stessi elementi e per definizione sono uguali.
Allora DR1, stai facendo tanta (ma proprio tanta) confusione.
Intanto $A=B\Leftarrow$ non è una proposizione quindi non puoi dimostrarla.
Il fatto che $A=B<=>A\subseteq B\wedge B\subseteq A$ voglia dire ${[A=B rArr A sube B ^^ B sube A] ^^ [A=B lArr A sube B ^^ B sube A]}$ è la definizione di $<=>$, non c'è nulla da aggiungere.
Se dimostri che $A\subseteq B\wedge B\subseteq A$ hai automaticamente dimostrato che $A=B$, non ci sono altri passaggi.
Forse hai solo esposto male la domanda: ciò che ho capito è che hai due insiemi $A$ e $B$ per cui sei già riuscito a dimostrare $A\subseteq B\wedge B\subseteq A$ e vuoi concludere che $A=B$, già sapendo che la proposizione $A=B<=>A\subseteq B\wedge B\subseteq A$ è vera.
Non è che invece ti interessa dimostrare la proposizione $A=B<=>A\subseteq B\wedge B\subseteq A$ partendo dall'assioma di estensionalità e dalla definizione di $\subseteq$ ?
In questo caso vedi la dimostrazione di UmbertoM.
Intanto $A=B\Leftarrow$ non è una proposizione quindi non puoi dimostrarla.
Il fatto che $A=B<=>A\subseteq B\wedge B\subseteq A$ voglia dire ${[A=B rArr A sube B ^^ B sube A] ^^ [A=B lArr A sube B ^^ B sube A]}$ è la definizione di $<=>$, non c'è nulla da aggiungere.
Se dimostri che $A\subseteq B\wedge B\subseteq A$ hai automaticamente dimostrato che $A=B$, non ci sono altri passaggi.
Forse hai solo esposto male la domanda: ciò che ho capito è che hai due insiemi $A$ e $B$ per cui sei già riuscito a dimostrare $A\subseteq B\wedge B\subseteq A$ e vuoi concludere che $A=B$, già sapendo che la proposizione $A=B<=>A\subseteq B\wedge B\subseteq A$ è vera.
Non è che invece ti interessa dimostrare la proposizione $A=B<=>A\subseteq B\wedge B\subseteq A$ partendo dall'assioma di estensionalità e dalla definizione di $\subseteq$ ?
In questo caso vedi la dimostrazione di UmbertoM.
"PZf":
Se dimostri che $A\subseteq B\wedge B\subseteq A$ hai automaticamente dimostrato che $A=B$, non ci sono altri passaggi.
ma non dovrei dimostrare che è vera anche $A=B$, ponendo $P : = A\subseteq B\wedge B\subseteq A$ e $Q : = A=B$; volendo dimostrare $Q$ partendo da $P$ non bisogna dimostrare che è vera $P ^^ (P rArr Q)$ ? o siccome quello dell'estensionalità è un assioma e quindi si suppone sempre vero, in questo caso non c'è ne bisogno ?
Allora, se hai già dimostrato che la proposizione $P<=>Q$ è vera allora se riesci a dimostrare $P$ hai automaticamente dimostrato anche $Q$: qui dici bene che volendo dimostrare $Q$ partendo da $P$ bisogna dimostrare che $P\wedge(P=>Q)$, ma se sai già che $P<=>Q$ in particolare sai già che $P=>Q$ quindi ti manca da dimostrare solo $P$, dopodiché $Q$ risulta automaticamente dimostrata.
Ripeto, siccome è questo il mio dubbio: non è che a te interessa dimostrare la proposizione $A=B<=>A\subseteq B\wedge B\subseteq A$ ?
Ripeto, siccome è questo il mio dubbio: non è che a te interessa dimostrare la proposizione $A=B<=>A\subseteq B\wedge B\subseteq A$ ?
"PZf":
Ripeto, siccome è questo il mio dubbio: non è che a te interessa dimostrare la proposizione $A=B<=>A\subseteq B\wedge B\subseteq A$ ?
è proprio quella che mi interessa; mi serve per gli esercizi delle uguaglianze tra insiemi.Ho già provato a cercare quella di umbertoM che mi hai suggerito, ma è diversa(è per $P(A)$$P(B)$); non è che puoi postarmi un url, o spiegarmela tu ?
In realtà la dimostrazione di UmbertoM è corretta, mi limito a provare a spiegarla con altre parole.
Per dimostrare che $A=B<=>A\subseteq B\wedge B\subseteq A$ procedo in due passi: prima dimostro che $A=B=>A\subseteq B\wedge B\subseteq A$, poi dimostro che $A=B\Leftarrow A\subseteq B\wedge B\subseteq A$.
Cominciamo a dimostrare l'implicazione diretta. Devo dimostrare che se è vero che $A=B$ allora è vero sia che $A\subseteq B$ sia che $B\subseteq A$. Ragioniamo: cosa significa $A\subseteq B$ ? Significa che qualunque elemento $a\in A$ deve anche essere elemento di $B$ (questa è la descrizione a parole della definizione di $\subseteq$).
Dimostriamolo: suppongo che sia $a\in A$ e, utilizzando l'ipotesi $A=B$, deduco che $a\in B$ che è ciò che ci interessava. Un ragionamento analogo vale per $B\subseteq A$.
Dimostriamo ora l'implicazione inversa. Devo dimostrare che se $A\subseteq B$ e $B\subseteq A$ sono entrambe vere, allora deve essere vero anche che $A=B$. Cosa significa che $A=B$ ? Significa che scelto un qualunque elemento $a\in A$ deve necessariamente essere anche $a\in B$, e viceversa, scelto un qualunque elemento $b\in B$ deve anche essere $b\in A$ (questa è la descrizione a parole dell'assioma di estensionalità).
Dimostriamolo: scegliamo un qualunque elemento $a\in A$ e utilizziamo l'ipotesi $A\subseteq B\wedge B\subseteq A$. L'ipotesi dice che $A\subseteq B$ è vera (e anche $B\subseteq A$, ma per il momento ci interessa solo $A\subseteq B$) quindi se $a\in A$ vale che $a\in B$ (definizione di $\subseteq$). Per dimostrare che qualunque elemento di $B$ è anche elemento di $A$ si procede in modo analogo. Concludendo abbiamo mostrato che sotto l'ipotesi $A\subseteq B\wedge B\subseteq A$ vale $A=B$.
Per dimostrare che $A=B<=>A\subseteq B\wedge B\subseteq A$ procedo in due passi: prima dimostro che $A=B=>A\subseteq B\wedge B\subseteq A$, poi dimostro che $A=B\Leftarrow A\subseteq B\wedge B\subseteq A$.
Cominciamo a dimostrare l'implicazione diretta. Devo dimostrare che se è vero che $A=B$ allora è vero sia che $A\subseteq B$ sia che $B\subseteq A$. Ragioniamo: cosa significa $A\subseteq B$ ? Significa che qualunque elemento $a\in A$ deve anche essere elemento di $B$ (questa è la descrizione a parole della definizione di $\subseteq$).
Dimostriamolo: suppongo che sia $a\in A$ e, utilizzando l'ipotesi $A=B$, deduco che $a\in B$ che è ciò che ci interessava. Un ragionamento analogo vale per $B\subseteq A$.
Dimostriamo ora l'implicazione inversa. Devo dimostrare che se $A\subseteq B$ e $B\subseteq A$ sono entrambe vere, allora deve essere vero anche che $A=B$. Cosa significa che $A=B$ ? Significa che scelto un qualunque elemento $a\in A$ deve necessariamente essere anche $a\in B$, e viceversa, scelto un qualunque elemento $b\in B$ deve anche essere $b\in A$ (questa è la descrizione a parole dell'assioma di estensionalità).
Dimostriamolo: scegliamo un qualunque elemento $a\in A$ e utilizziamo l'ipotesi $A\subseteq B\wedge B\subseteq A$. L'ipotesi dice che $A\subseteq B$ è vera (e anche $B\subseteq A$, ma per il momento ci interessa solo $A\subseteq B$) quindi se $a\in A$ vale che $a\in B$ (definizione di $\subseteq$). Per dimostrare che qualunque elemento di $B$ è anche elemento di $A$ si procede in modo analogo. Concludendo abbiamo mostrato che sotto l'ipotesi $A\subseteq B\wedge B\subseteq A$ vale $A=B$.
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