Dimensione sottogruppo
Salve,
avrei una domanda molto veloce e qualche piccolo esercizio su cui ho dei dubbi, il tutto sulla dimensione di un sottogruppo.
Domanda
Dato il teorema di Lagrange che dice:
Volevo sapere se quando si parla di sottogruppi nel teorema, si intendono anche i sottogruppi ciclici.
Es 1
Sia $G$ il gruppo delle permutazioni di 5 oggetti, si dica se in $G$ esiste un sottogruppo ciclico di ordine 6.
Vorrei sapere se (ipotizzando una risposta positiva alla domanda precedente), mi basta dire che 6 divide $|G|$ (che è 120) per risolvere l'esercizio.
Es 2
Sia $G$ il gruppo delle permutazioni di 9 oggetti, si provi che in $G$ non ci sono elementi di ordine 11.
Simile all'esercizio 1, mi basta dire che 11 non divide 9! per risolverlo?
Es 3
Sia $G$ il gruppo delle permutazioni di 9 oggetti, si trovi un elemento di $G$ di ordine 20.
Ho pensato di trovare una permutazione $g$ di due cicli disgiunti di 5 e 4 elementi, così da poter sfruttare il fatto che $o(g)=mcm(5,4)=20$, con $o(g)$ = ordine di $g$
Quindi ad esempio: $g=(1 2 3 4 5)(6 7 8 9)$
E' corretto?
Grazie in anticipo.
Saluti
avrei una domanda molto veloce e qualche piccolo esercizio su cui ho dei dubbi, il tutto sulla dimensione di un sottogruppo.
Domanda
Dato il teorema di Lagrange che dice:
Sia $G$ un gruppo finito e si consideri un suo sottogruppo $H$. Allora $|H|$ è un divisore dell'ordine di $G$.
Volevo sapere se quando si parla di sottogruppi nel teorema, si intendono anche i sottogruppi ciclici.
Es 1
Sia $G$ il gruppo delle permutazioni di 5 oggetti, si dica se in $G$ esiste un sottogruppo ciclico di ordine 6.
Vorrei sapere se (ipotizzando una risposta positiva alla domanda precedente), mi basta dire che 6 divide $|G|$ (che è 120) per risolvere l'esercizio.
Es 2
Sia $G$ il gruppo delle permutazioni di 9 oggetti, si provi che in $G$ non ci sono elementi di ordine 11.
Simile all'esercizio 1, mi basta dire che 11 non divide 9! per risolverlo?
Es 3
Sia $G$ il gruppo delle permutazioni di 9 oggetti, si trovi un elemento di $G$ di ordine 20.
Ho pensato di trovare una permutazione $g$ di due cicli disgiunti di 5 e 4 elementi, così da poter sfruttare il fatto che $o(g)=mcm(5,4)=20$, con $o(g)$ = ordine di $g$
Quindi ad esempio: $g=(1 2 3 4 5)(6 7 8 9)$
E' corretto?
Grazie in anticipo.
Saluti
Risposte
"chris9191":
[...]
Es 1
Sia $G$ il gruppo delle permutazioni di 5 oggetti, si dica se in $G$ esiste un sottogruppo ciclico di ordine 6.
Vorrei sapere se (ipotizzando una risposta positiva alla domanda precedente), mi basta dire che 6 divide $|G|$ (che è 120) per risolvere l'esercizio. [...]
No: il teorema di Lagrange fornisce soltanto una condizione necessaria, non sufficiente.
Comunque in questa caso è facile: basta prendere un elemento di ordine \(6\) e quindi considerare il gruppo ciclico da esso generato.
"chris9191":
[...] Es 2
Sia $G$ il gruppo delle permutazioni di 9 oggetti, si provi che in $G$ non ci sono elementi di ordine 11.
Simile all'esercizio 1, mi basta dire che 11 non divide 9! per risolverlo? [...]
Questo è corretto.
"chris9191":
[...] Es 3
Sia $G$ il gruppo delle permutazioni di 9 oggetti, si trovi un elemento di $G$ di ordine 20.
Ho pensato di trovare una permutazione $g$ di due cicli disgiunti di 5 e 4 elementi, così da poter sfruttare il fatto che $o(g)=mcm(5,4)=20$, con $o(g)$ = ordine di $g$
Quindi ad esempio: $g=(1 2 3 4 5)(6 7 8 9)$
E' corretto? [...]
Sì.
Grazie per la risposta.
Quindi per l'esercizio 1, oltre a dimostrare con Lagrange che un sottrogruppo di ordine 6 potrebbe esistere perchè è un divisore di 120, devo anche trovarlo per dimostrare completamente la sua esistenza, corretto?
In questo caso potrei procedere come nell'esercizio 3, trovando $g=(1 2 3)(4 5)$ dato che $o(g)=mcm(3,2)=6$.
Un'ultima domanda:
Sia $G$ il gruppo delle permutazioni di 11 oggetti, si trovi l'ordine dell'elemento $gh$ dove $g = (1, 2, 4, 5, 7)$ e $h = (3, 6, 7, 8, 9)$.
Vorrei solo sapere se cambia qualcosa avendo una composizione di due permutazioni (anche se per la proprietà di chiusura rispetto all'operazione che hanno i gruppi, potrei vedere $gh$ come un normale elemento contenuto nel gruppo).
Quindi ho pensato di calcolare $gh = (1, 2, 4, 5, 7, 8, 9, 3, 6)$ e dato che $gh$ genera un sottogruppo ciclico di dimensione 9, $o(gh)=9$.
E' corretto?
Grazie di nuovo.
Saluti
Quindi per l'esercizio 1, oltre a dimostrare con Lagrange che un sottrogruppo di ordine 6 potrebbe esistere perchè è un divisore di 120, devo anche trovarlo per dimostrare completamente la sua esistenza, corretto?
In questo caso potrei procedere come nell'esercizio 3, trovando $g=(1 2 3)(4 5)$ dato che $o(g)=mcm(3,2)=6$.
Un'ultima domanda:
Sia $G$ il gruppo delle permutazioni di 11 oggetti, si trovi l'ordine dell'elemento $gh$ dove $g = (1, 2, 4, 5, 7)$ e $h = (3, 6, 7, 8, 9)$.
Vorrei solo sapere se cambia qualcosa avendo una composizione di due permutazioni (anche se per la proprietà di chiusura rispetto all'operazione che hanno i gruppi, potrei vedere $gh$ come un normale elemento contenuto nel gruppo).
Quindi ho pensato di calcolare $gh = (1, 2, 4, 5, 7, 8, 9, 3, 6)$ e dato che $gh$ genera un sottogruppo ciclico di dimensione 9, $o(gh)=9$.
E' corretto?
Grazie di nuovo.
Saluti
"chris9191":
Grazie per la risposta.
Quindi per l'esercizio 1, oltre a dimostrare con Lagrange che un sottrogruppo di ordine 6 potrebbe esistere perchè è un divisore di 120, devo anche trovarlo per dimostrare completamente la sua esistenza, corretto?
In questo caso potrei procedere come nell'esercizio 3, trovando $g=(1 2 3)(4 5)$ dato che $o(g)=mcm(3,2)=6$. [...]
Esatto. C'è poi un teorema (a mio avviso abbastanza potente) che garantisce l'esistenza di un elemento di ordine \(p\) - ove qui però \(p\) è un primo che divide l'ordine \(n\) del gruppo.
"chris9191":
[...] Sia $G$ il gruppo delle permutazioni di 11 oggetti, si trovi l'ordine dell'elemento $gh$ dove $g = (1, 2, 4, 5, 7)$ e $h = (3, 6, 7, 8, 9)$.
Vorrei solo sapere se cambia qualcosa avendo una composizione di due permutazioni (anche se per la proprietà di chiusura rispetto all'operazione che hanno i gruppi, potrei vedere $gh$ come un normale elemento contenuto nel gruppo).
Quindi ho pensato di calcolare $gh = (1, 2, 4, 5, 7, 8, 9, 3, 6)$ e dato che $gh$ genera un sottogruppo ciclico di dimensione 9, $o(gh)=9$.
E' corretto?
E' corretto. Siccome le due permutazioni di partenza non sono disgiunte, non vale la "regola" secondo cui l'ordine della loro composizione è il minimo comune multiplo dei due ordini.
Grazie per l'aiuto.
Saluti
Saluti
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