Dimensione degli spazi radice di un'algebra di Lie semisemplice

[Lemniscata1]

Salve a tutti.
Sono alle prese con questa
Proposizione. Sia $L$ un'algebra di Lie semisemplice, $H$ una sua sottoalgebra di Cartan, e sia $L=H \oplus (\oplus_{\alpha \in \Phi} L_{\alpha})$ la corrispettiva decomposizione in spazi radice. Allora, per ogni $\alpha \in \Phi$, si ha $\text{dim} \quad L_{\alpha}=1$, e se $c\alpha \in \Phi$ allora $c=\pm 1$.
La dimostrazione è a pg 101 di questo libro: http://books.google.ca/books?hl=it&id=K ... es&f=false
Ci sono fino all'inizio della casistica $s$ pari: sono d'accordo che se $W\ne \{0\}$ allora contiene un $\mathfrak{sl}(\alpha)$-sottomodulo irriducibile $V$ isomorfo ad un qualche $V_s$, e quindi se $s$ è pari, esiste un $v\in V_s$ t.c. $[h_\alpha, v]=0$. Ma perché mai ciò dovrebbe implicare che $\alpha(v)=0$ e che quindi $v \in K$? Non riesco proprio a vederlo. Qualcuno mi può illuminare per favore?
Grazie in anticipo a chiunque vorrà darmi una mano, ciao!

[Lemniscata1]

Dovrei aver risolto. In effetti ogni addendo della somma diretta che forma il modulo $M$ è un $h_\alpha$-autospazio relativo ad un autovalore distinto da tutti gli altri, quindi se $v$ appartiene all'$h_alpha$-autospazio di autovalore nullo deve per forza appartenere ad $H$, e questo già dovrebbe bastare ad ottenere l'assurdo. Che stia addirittura in $K$ continuo a non vederlo, ma ai fini della dimostrazione non dovrebbe servire...