Dim x induzione semplice
$ 1/(1*2) + 1/(2*3) + ... + 1/((n(n+1) ) = $
$ n/(n+1) $
se è vera per n=r allora,
$ 1/(1*2) + ....+ 1/(r(r+1)) + 1/((r+1)(r+2)) =r /(r+1)+ 1/((+1)(r+2)) = (r(+2)+1)/((r+1)(r+2)) $
...non mi esce o comunque non so come procedere
$ n/(n+1) $
se è vera per n=r allora,
$ 1/(1*2) + ....+ 1/(r(r+1)) + 1/((r+1)(r+2)) =r /(r+1)+ 1/((+1)(r+2)) = (r(+2)+1)/((r+1)(r+2)) $
...non mi esce o comunque non so come procedere
Risposte
Hai concluso. Ti basta lavorare sul numeratore: \( r \left ( r + 2 \right ) + 1 = r^{2} + 2r + 1 = \left ( r + 1 \right )^{2} \). A questo punto semplifichi col denominatore e concludi.
P.S.
Correggi un attimo la sintassi delle formule perché sono renderizzate male.
P.S.
Correggi un attimo la sintassi delle formule perché sono renderizzate male.
ok grazie mille
invece a questo
$ (1+q) (1+q^2) (1+q^4) ... (1+q^(2n))= (1-q^(2n+1))/(1-q) $
facendo lo stesso mi esce
$ (1-q^(4r+2))/(1-q) $, invece dovrebbe uscirmi $ (1-q^(2r+2))/(1-q) $, vero?
invece a questo
$ (1+q) (1+q^2) (1+q^4) ... (1+q^(2n))= (1-q^(2n+1))/(1-q) $
facendo lo stesso mi esce
$ (1-q^(4r+2))/(1-q) $, invece dovrebbe uscirmi $ (1-q^(2r+2))/(1-q) $, vero?
Questo credo di non averlo proprio capito.
Se \( q = 2 \) e \( n = 2 \) a sinistra ottengo \( \left ( 1+2 \right ) \left ( 1+2^{2} \right ) \left ( 1+2^{3} \right ) \left (1+2^{4} \right ) = 3 \cdot 5 \cdot 9 \cdot 17 = 2295 \) mentre a destra ottengo \( \displaystyle \frac{ 1 - 2^{4 + 1}}{1 - 2} = \frac{-31}{-1}=31 \).
Se \( q = 2 \) e \( n = 2 \) a sinistra ottengo \( \left ( 1+2 \right ) \left ( 1+2^{2} \right ) \left ( 1+2^{3} \right ) \left (1+2^{4} \right ) = 3 \cdot 5 \cdot 9 \cdot 17 = 2295 \) mentre a destra ottengo \( \displaystyle \frac{ 1 - 2^{4 + 1}}{1 - 2} = \frac{-31}{-1}=31 \).
scusa!! avevo scritto al secondo membro della prima equazione $ (1-q (2n+1)) / (1-q) $, ora ho corretto
Sì: io lo avevo capito che \( 2n + 1 \) è un esponente. E i conti non tornano: quelli che ho fatto sono proprio con \( 2n + 1 \) come esponente.
Tu hai scritto come esempio (1+2^3), che non c'è perché dopo l'esponente 2, viene l'esponente 4... la regola è 2n come esponente
Ma anche correggendo viene 185/31
Ma anche correggendo viene 185/31
Ma se fosse come dici ovvero che l'esponente di $q$ nei binomi di sinistra sia $2n$ allora l'esponente del primo $q$ dovrebbe essere zero invece che uno ... se non scrivi correttamente il testo è difficile aiutarti ...
"Lavinia Volpe":
Tu hai scritto come esempio (1+2^3), che non c'è perché dopo l'esponente 2, viene l'esponente 4... la regola è 2n come esponente
Ma anche correggendo viene 185/31
Veramente dopo la \( q \) con esponente \( 2 \) non c'è alcunché: ci sono tre puntini sospensivi e poi c'è una \( q \) con esponente \( 2n \). Prima della \( q \) con esponente \( 2 \) c'è una \( q \) con esponente \( 1 \). Quindi in quello che c'è scritto la \( q \) compare con esponente \( 1 \), poi con esponente \( 2 \), poi non compare proprio ed infine compare con esponente \( 2n \). La cosa più naturale che mi viene da pensare, scritte le cose in questo modo, è che ci siano da moltiplicare delle parentesi in cui \( q \) compare con esponente da \( 1 \) a \( 2n \), sicché se \( n = 2 \), la cosa più naturale che mi viene da pensare è che ci siano da moltiplicare delle parentesi in cui \( q \) compare con esponente da \( 1 \) a \( 4 = 2 \cdot 2 \), ovvero con esponente \( 1 \), \( 2 \), \( 3 \) e poi \( 4 \). E stando così le cose non ci troviamo perché per \( q = 2 \) a sinistra viene \( 2295 \) mentre a destra viene \( 31 \), dove quel \( 31 \) esce proprio considerando \( 2n + 1 = 2 \cdot 2 + 1 = 4 + 1 \) come esponente di \( q = 2 \).
c'è da dire che nella traccia mette dopo l'esponente due anche l'esponente quattro, solo che io non l'ho scritto perché pensavo fosse superfluo, l resto però è proprio come l'ho scritto, non ho sbagliato!
Ho corretto, ora la traccia che ho scritto è esattamente come quella del libro
E comunque (ma io sono ignorantissima in materia!).. il primo esponente è 1, da lì si procede moltiplicando per due finché non si arriva a n, allora quello sarà il penultimo fattore, l'ultimo sarò quello con esponente 2n.
Ho corretto, ora la traccia che ho scritto è esattamente come quella del libro
E comunque (ma io sono ignorantissima in materia!).. il primo esponente è 1, da lì si procede moltiplicando per due finché non si arriva a n, allora quello sarà il penultimo fattore, l'ultimo sarò quello con esponente 2n.
Facciamo così:
• se la traccia si trova su una dispensa reperibile in rete, pubblica il link alla dispensa;
• se si trova su un testo cartaceo, pubblica una foto (o una scansione) della traccia.
• se la traccia si trova su una dispensa reperibile in rete, pubblica il link alla dispensa;
• se si trova su un testo cartaceo, pubblica una foto (o una scansione) della traccia.
A sinistra viene 255 (non considerando 3)
A destra forse avevo interpretato male la traccia perché è scritto piccolo (sorry), può essere $ (1-q^2^(n+1))/(1-q) $, così uscirebbe 255
(il 2 è elevato alla seconda che è elevato alla (n+1), non viene scritto come vorrei)
A destra forse avevo interpretato male la traccia perché è scritto piccolo (sorry), può essere $ (1-q^2^(n+1))/(1-q) $, così uscirebbe 255
(il 2 è elevato alla seconda che è elevato alla (n+1), non viene scritto come vorrei)
Quindi quello che è da provare è che
\[
\left ( 1 + q^{2^{0}} \right ) \left ( 1 + q^{2^{1}} \right ) \left ( 1 + q^{2^{2}} \right ) \cdots \left ( 1 + q^{2^{n}} \right ) = \frac{ 1 - q^{2^{n+1}}}{ 1 - q }
\]
?
\[
\left ( 1 + q^{2^{0}} \right ) \left ( 1 + q^{2^{1}} \right ) \left ( 1 + q^{2^{2}} \right ) \cdots \left ( 1 + q^{2^{n}} \right ) = \frac{ 1 - q^{2^{n+1}}}{ 1 - q }
\]
?
AH ecco
quindi a destra mi dovrebbe venire $( 1- q^2^(n+2))/(1-q) $
a me viene $ (1 - (q^2^(n+1))^2) / (1-q) $
quindi a destra mi dovrebbe venire $( 1- q^2^(n+2))/(1-q) $
a me viene $ (1 - (q^2^(n+1))^2) / (1-q) $
Hai finito:
\[
1 - \left ( q^{2^{n+1}} \right )^{2} = 1 - q^{2 \cdot 2^{n+1}} = 1 - q^{2^{1 + \left ( n + 1 \right )}} = 1 - q^{2^{n+2}}
\]
\[
1 - \left ( q^{2^{n+1}} \right )^{2} = 1 - q^{2 \cdot 2^{n+1}} = 1 - q^{2^{1 + \left ( n + 1 \right )}} = 1 - q^{2^{n+2}}
\]
ok, grazie 
Prego.
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