Dim: Stessa cardin. per insiemi finiti se esiste fz biett.
Ciao a tutti, vorrei chiedervi ocnsiglio su una dimostrazione:
Se avessi un esrcizio che dice:
Dimostra che: Due insiemi $X$ e $Y$ finiti e non vuoti hanno la stessa cardinalità se e soltanto se esiste una funzione $\psi:X\toY$ biettiva.
Ehm... se $\psi$ è biettiva, allora e' anche suriettiva e iniettiva! Quindi l'immagione di $\psi(X)$ ricopre tutto $Y$ e ad ogni elemento di $X$ associa uno ed uno solo dell' $Y$. Essendo $\psi$ biettiva, è anche invertibile e quindi esiste una $\psi^(-1)$ tale che $\psi^(-1)(Y)$ ricopre tutto $X$ e ad ogni elemento di $X$ associa uno ed uno solo in $Y$.
Ma se ogni elemeno di $X$ è collegato ad un elemento di $Y$ e viceversa... posso dire che le loro cardinalita' sono uguali.
Puo' andare?
Se avessi un esrcizio che dice:
Dimostra che: Due insiemi $X$ e $Y$ finiti e non vuoti hanno la stessa cardinalità se e soltanto se esiste una funzione $\psi:X\toY$ biettiva.
Ehm... se $\psi$ è biettiva, allora e' anche suriettiva e iniettiva! Quindi l'immagione di $\psi(X)$ ricopre tutto $Y$ e ad ogni elemento di $X$ associa uno ed uno solo dell' $Y$. Essendo $\psi$ biettiva, è anche invertibile e quindi esiste una $\psi^(-1)$ tale che $\psi^(-1)(Y)$ ricopre tutto $X$ e ad ogni elemento di $X$ associa uno ed uno solo in $Y$.
Ma se ogni elemeno di $X$ è collegato ad un elemento di $Y$ e viceversa... posso dire che le loro cardinalita' sono uguali.
Puo' andare?
Risposte
Mi sembra sia corretto.
C'è qualcosa che non mi quadra. Cosa intendi per "avere la stessa cardinalità"?
Nel caso intendessi che $X$ ed $Y$ sono equipotenti, allora quella che hai scritto è proprio la definizione e non c'è niente da dimostrare. Se invece intendi che $X$ e $Y$ hanno lo stesso cardinale allora la dimostrazione deve passare attraverso l'uguaglianza dei loro numeri cardinali, intesi come insiemi della teoria $ZF$, per esempio. Tra l'altro non ti serve nemmeno l'ipotesi che questi insiemi siano finiti.
Però potresti provare a dimostrare che se $X$ e $Y$ sono finiti e $\psi$ è iniettiva (oppure suriettiva), allora $\psi$ è biettiva e dunque $X$ e $Y$ hanno la stessa cardinalità.
Nel caso intendessi che $X$ ed $Y$ sono equipotenti, allora quella che hai scritto è proprio la definizione e non c'è niente da dimostrare. Se invece intendi che $X$ e $Y$ hanno lo stesso cardinale allora la dimostrazione deve passare attraverso l'uguaglianza dei loro numeri cardinali, intesi come insiemi della teoria $ZF$, per esempio. Tra l'altro non ti serve nemmeno l'ipotesi che questi insiemi siano finiti.
Però potresti provare a dimostrare che se $X$ e $Y$ sono finiti e $\psi$ è iniettiva (oppure suriettiva), allora $\psi$ è biettiva e dunque $X$ e $Y$ hanno la stessa cardinalità.
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