Differenza tra la derivazione di grado −1 sull'algebra esterna e prodotto esterno ∧

[francox1]

Secondo la definizione di prodotto interno
https://it.wikipedia.org/wiki/Prodotto_interno

questo viene definito cosi

è una derivazione di grado −1 sull'algebra esterna delle forme differenziali su varietà lisce

Ora, quella parola 'interno' mi confonde, nel senso che questo tipo di prodotto 'interno' è definito su un'algebra esterna.
Ora, da quello che so io, per avere un'algebra esterna, si definisce, invece un prodotto esterno ∧

Quindi, quando loro dicono, invece

Pertanto, il prodotto interno agisce su una $p$-forma restituendo una $(p-1)$-forma data dalla contrazione della forma differenziale con il vettore associato al prodotto

immagino che prima bisogna definire un prodotto esterno ∧ per avere la nostra algebra esterna e poi si effettua questo tipo di prodotto interno per restituirci una $(p-1)$-forma ?

Non capisco la sequenza per ottenere questa derivazione di grado -1.

Io so che se ho a disposizione un campo vettoriale è sempre possibile definire un' algebra esterna, quindi mi viene da pensare che prima dobbiamo definire un prodotto esterno ∧ e solo dopo possiamo definire questo tipo di prodotto interno.

Domanda, è sempre quindi possibile definire questo tipo di derivata interna sull'algebra esterna oppure ci sono delle condizioni particolari affinchè quest'operazione di derivazione sia possibile effettuarla?

P.S: la forma di arrivo di ordine inferiore rispetto a quella di partenza ha un nome, un etichetta, cos'è, un sottoinsieme dell algebra esterna?

[j18eos]

Non c'ho capìto un cuneo!

[solaàl]

E' sempre possibile, cosa non capisci?

[j18eos]

Io non ho capìto cosa centri il prodotto wedge, la differenziazione delle \(\displaystyle k\)-forme con la definizione di \(\displaystyle1\)-contrazione di quest'ultime: prima la si definisce, e poi si controllano le eventuali interazioni tra di loro...

[solaàl]

Beh, la struttura differenziale e codifferenziale sono legate dalla formula di Cartan, no?

[j18eos]

Sì, ma si possono costruire l'una senza l'altra; e poi ci si domanda come siano legate.

Ciò che mi perplime, è che non vedo cosa c'entri tutta la tecnologia dell'algebra esterna con la \(\displaystyle1\)-contrazione di una \(\displaystyle k\)-forma differenziale; ovvero, uno può tranquillamente eseguire contrazione senza mai usare il prodotto wedge...

[solaàl]

Sarà ovvio se costruisci codifferenziale e differenziale senza formula di Cartan, ma ora non so come. In ogni caso la domanda non mi sembra questa, cioè, si dà per scontata una relazione tra le due costruzioni (quale sia è esattamente il contenuto della formula magica di Cartan).